若e j T 若e j T
16
称X为路线T的关联向量，其m=n(n-2)/2个分量中，恰好 有个为1，其余的都为0。
图有许多Hamilton回路，设为T1, T2… Ts,，对应的关联向 量记为X1, X2… Xs ，在m维空间Rm中，考虑这些向量生成的 凸包（convex hull） Qn ：
显然，b2≥b1，因此，一般不采用b1作为TSP的下界。
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例1 已知TSP及其距离矩阵如图7－1所示，试求其下 界
3
1
2
56
81
79
3
4
4
23
5
3 1 5 8

3

6
7
9

1 5 4 2

5
7
4

3

8 9 2 3
(a) 无向图
(b) 距离矩阵
图7－1 无向图及 距离矩阵
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TS多面体研究中的一个重要问题就是寻找能导出Qn 最大面的不等式，Grotschel等人发现了一类很重要的能导 出最大面的梳子不等式，并予以了证明。此外，还有其它 能导出最大面的不等式，如团树不等式等。可见， Qn的最 大面极多，曾经计算过由梳子不等式所导出的最大面个数 如表7－1所示：
表7－1
14
早在1954年，Dantzig等人就曾提出过一种方 法（非多项式算法），并且求出了一个42城市的 TSP最优解。到了1960年代，不少人用分支定界法 解决了许多有几十个城市的TSP。还有人提出了一 些近似方法，也解决了许多有几十个城市甚至上百 个城市的TSP（有时找到的仅是近似解）。更值得 注意的是，从1970年代中期开始，Grotschel与 Padberg等人深入研究了TS多面体的最大面 （facet），并从所得结果出发获得了一种解TSP的 新算法，可以解决一些有100多个城市的TSP，且都 在不长的时间内找到了最优解。
9
(2) 最小比率TSP 最小比率TSP（简称MRTSP）是从经典TSP引
申出来的另一个变形问题，假定从一个城市走到另 一个城市可得到某种收益（记为），则MRTSP的目 标就是确定最佳行走路线，使得回路的总行程与总 收益之比最小。这种优化目标的思想类似于人们日 常生活中经常使用的费用效益比，与单纯的总行程 最短相比，往往更具实际意义。
i1
xij
1,
xij S 1,
iS jS
xij 0, 1
i V j V S V , 2 S n 1
(7 1) (7 2) (7 3)
5
nn
min Z
dij xij
i1 j1
n

xij 1,
在求b2的过程中，只有当与每一结点关联的边 中长度最小的两条边都出现在最优TSP回路中时， 等号才成立，下面就来分析如何提高这个下界。
8
从严格的数学意义而言，瓶颈TSP（简称BTSP）并 没有降低问题的难度，也未能提供任何特殊的解决办 法。
瓶颈TSP的数学模型与标准TSP类似，仅目标函数 不同：
min Z max dij xij i, j V
由于目标函数为瓶颈值，故求得的最佳巡回路 线与标准TSP的往往截然不同。
边出；约束（7－3）则保证了没有任何子回路解的产生。
于是，满足约束（7－1）、（7－2）和（7－3）的解构
成了一条Hamilton回路。
6
当dij=dji (i, j∈V) 时，问题被称为对称型TSP，否 则称为非对称型TSP。
若对所有1≤i, j, k≤n ，有不等式dij + djk ≥ dik成立， 则问题被称为是满足三角形不等式的，简称为ΔTSP。
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互间的距离设定为∞，其他数值不变。
二、多面体理论 从上世纪70年代开始的关于算法复杂性的研究
表明，要想为TSP找到一个好的算法，也即多项式 算法，似乎是不可能的。由于推销员的每条路线可 以用一个以1开始的排列来表示，因此所有可能的路 线有条。这样，若用枚举法来解决这一问题，即使 不太大，例如n＝30，用目前最快的计算机，也要 化几百万年才能求出一条最短的路线。
第7章 旅行商问题
1
第7章
目录 旅行商问题
1.问题概述 2.求解算法
2.1.下界和上界算法
2.2.分支定界法 2.3.动态规划法 2.5.近似算法 2.5.竞赛题
2
§7-1 问题概述
一、数学模型 1. 标准TSP 旅行商问题（简称TSP），也称货郎担问题或 旅行推销员问题，是运筹学中一个著名的问题，其 一般提法为：有一个旅行商从城市1出发，需要到城 市2、3、…、n去推销货物，最后返回城市1，若任 意两个城市间的距离已知，则该旅行商应如何选择 其最佳行走路线？
7
2. 扩展TSP (1) 瓶颈TSP
瓶颈问题是最早从TSP延伸出来的一种扩展型 TSP，其含义与经典的TSP类似，仅目标不同，要 求巡回路线中经过的最长距离最短，即最小化瓶颈 距离。该情形体现了那些并不追求总巡回路线最短， 而只希望在巡回路线中每次从一个地点至另一个地 点的单次行程尽可能短的实际应用问题的特征。
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解： 将矩阵中每一行最小的元素相加，1+3+1+3+2 = 10，即得b1=10。将矩阵中每一行最小的两个元素相 加再除以2，再对结果向上取整，即可得b2 = ((1+3) + (3+6) + (1+2) + (3+4) + (2+3))/2 = 14。
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（2）下界b3 为便于描述下界b3，先定义如下符号： T：对称TSP问题； n：结点总个数； w(i,j)：结点i与j之间距离； dmin(i, k)：与第i个结点关联的所有边中第k (k = 1, 2, 3)长边的
长度； dmin_j(i, k)：与第i个结点关联的所有边中第k (k = 1, 2, 3) 长边
的另一个结点的编号(其中一个结点编号为i)； node_ base(i)= dmin_j(i, 1)+ dmin_j(i, 2)：表示与i点关联边中长
度最短的两条边之和； C*(T)：最优回路长度；
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j1
n
s.t
i1
xij
1,
xij S 1,
iS jS
xij 0, 1
i V j V S V , 2 S n 1
(7 1) (7 2) (7 3)
模型中，为集合中所含图的顶点数。约束（7－1）
和（7－2）意味着对每个点而言，仅有一条边进和一条
10
假定收益的数学性质与相同，则最小比率TSP的 数学模型也与标准TSP类似，仅目标函数不同：
min ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i j dij xij
i j pij xij
毫无疑问，由于目标函数中的非线性因素，最 小比率TSP的求解比之标准TSP显得更为困难。
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(3) 多人TSP
若标准TSP中，出发点有多个推销员同时出发，各自行 走不同的路线，使得所有的城市都至少被访问过一次，然后 返回出发点，要求所有推销员的总行程最短，则问题就成为 一个多人的旅行商问题（简记MTSP）。
Qn


s
i X i
s
i 1, i 0, i 1, 2,L
, s
i1
i 1

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Qn是Rm中的一个凸多面体，称做TS多面体。 显然， Qn是有界的，其极点正好是Kn的Hamilton回 路关联向量。
研究Qn的面非常重要的，因为根据线性不等式 及凸多面体的理论， Qn一定是某一个有限线性不等 式组的解集合，或者说， Qn一定是有限多个半空间 的交。因此，如果能找出定义Qn的线性不等式组来， 就可将TSP作为一个线性规划来解。
3
TSP在图论意义下又常常被称为最小Hamilton圈问题， Euler等人最早研究了该问题的雏形，后来由英国的 Hamilton爵士作为一个悬赏问题而提出。但这个能让普通人 在几分钟内就可理解的游戏之作，却延续至今仍未能完全解 决，成了一个世界难题。
TSP有着明显的实际意义，如，邮局里负责到各信箱开 箱取信的邮递员，以及去各分局送邮件的汽车等，都会遇到 类似的问题。有趣的是，还有一些问题表面上看似乎与TSP 无关，而实质上却可以归结为TSP来求解。已经证明，TSP 是个NP难题，除非P = NP，否则不存在有效算法。
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考虑个顶点的完全图Kn ，则解TSP就相当于在 中求一条总长度最短的Hamilton回路。现在，对每
条边ej，定义一个变量xj与之对应，这样，TSP的一 条路线T，即Kn的一条Hamilton回路，就可对应一 个向量X={x1,x2,….xm}，其中，
x j 1,
x j
0,
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当然，用该方法有时会找不到TSP的最优解， 因为很可能在进行了几轮迭代后，却找不到新的不 等式。Padborg与Hong曾计算了74个TSP，其中54 个得到了最优解，其余的虽未得到最优解，却得到 了很好的下界，如果与近似方法配合，可以估计近 似解的精确程度。如，他们解过一个有313个城市的 TSP，获得一个下界41236.46，而用近似方法能得 到一条长为41349的路线，于是可估计出所得近似解 与最优解的误差不超过0.26%。
于是，dmin(i, 1)代表与第i个结点关联的所有边 中最长边的长度，dmin_j(i, 1) 代表与第i个结点关联 的所有边中次长边的另一个结点编号(其中一个结点 编号为i)，第i结点的dmin(i, k)和dmin_j(i, k)可由距 离矩阵w轻易求得。
通过对下界b2进行改进，可以得出一个求对称 型TSP更好的下界b3。