8年级三角形综合题归类双等边三角形模型1. (1)如图7,点0是线段AD 的中点，分别以 AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形 OCD,连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC.求/ AEB 的大小; (2)如图8,A OAB 固定不动，保持△ OCD 的形状和大小不变，将△(A OAB 和A OCD 不能重叠)，求/ AEB 的大小.2. 已知：点C 为线段AB 上一点，△ ACM,A CBN 都是等边三角形，且 AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM② 求/ AOB 的度数。
③ 若AN 、MC 相交于点P,BM 、NC 交于点Q ,求证：PQ// AB 。
同类变式：如图a ,A ABC 和厶CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C,连接AF 和BE.⑴线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2) 将图a 中的△ CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b , (1)中的结论还成立吗？作出判 断并说明理由；(3) 若将图a 中的△ ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由•CD BE , △ AMN 是等边三角形.OCD 绕着点O 旋转(湘潭•中考题)图7DA3.如图9,(1) 当把△ ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立，请说明理由；(2) 当厶ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△ AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由.BAC DAE ,且点B , A , D 在一条直线上，连接BE , CD , M , N 分别为BE , CD 的中点.(1) 求证：① BE CD :② AM AN ；(2) 在图①的基础上，将 △ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到 图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立 •4.如图，四边形 ABCD^四边形 AEFG 匀为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点H(1) 证明：△ ABG 也△ ADE ; (2) 试猜想 BHD 的度数，并说明理由；同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中,AB AC , AD AE ,图9 图10 图11图① AA图②(3)将图中正方形 ABC 哦点A 逆时针旋转(0°< BAE v 180° ),设厶ABE 勺面积为$ , △ ADG 勺面积为S 2，判断^与S 2的大小关系，并给予证明.5•已知：如图， △ ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点D 作DG // BC ,交AC 于点G , 在GD 的延长线上取点 E ,使DE DB ，连接AE , CD .(1)求证：△ AGE =△ DAC ；(2)过点E 作EF // DC ，交BC 于点F ，请你连接 AF ，并判断△ AEF 是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1:利用垂直证明角相等1. 如图，△ ABC 中，/ ACB = 90°, AC = BC , AE 是BC 边上的中线，过 C 作CF 丄AE ，垂 足为F ，过B 作BD 丄BC 交CF 的延长线于 D. 求证：(1) AE = CD ;(2)若 AC = 12 cm ，求 BD 的长.C2.（西安中考）如图 ⑴， 已知△ ABC 中,/ BAC=90, AB=AC, AE 是过A的一条直线,且B 、C 在A E 的异侧,BD 丄AE 于D, CE 丄AE 于E 。
图⑵（1）试说明：BD=DE+CE.⑵若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD<CE ）,其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系 如何？写结论，并说明理由。
如何？写出结论，可不说明理由。
考点2:利用角相等证明垂直图⑶若直线AE 绕A 点旋转到图⑶位置时（BD>CE ）, 其余条件不变问BD 与DE 、CE 的关系3.直线CD 经过BCA 的顶点 C , CA=CB.E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA（1）若直线CD 经过 BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题:①如图1，若 BCA 90o ,90o ，则 EF BE AF （填“”，“ ”或“ ”号）；②如图2，若0° BCA 180°，若使①中的结论仍然成立， 则与BCA 应满足的关系是;（2）如图3,若直线CD 经过 BCA 的外部, 线段的数量关系，并给予证明.BCA ，请探究EF 、与BE 、AF 三条图2 图3DB图11. 已知BE, CF是厶ABC的高，且BP=AC CQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰Rt △ ABC中，/ ACE=90°, D为BC的中点，DEL AB垂足为E,过点B作BF// AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1) 求证：CD=BF⑵求证：AD L CF;⑶连接AF,试判断△ ACF的形状.B拓展巩固：如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形, ACB= 90°, AD是BC边上的中线, 过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC=Z BDE.E 图9(提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？)3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE , GC .（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论;（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2,连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由4.如图1，ABC的边BC在直线l 上, AC BC,且AC BC, EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF FP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP, BQ .猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由等腰三角形（中考重难点之一）E A C J⑵⑶Q考点1等腰三角形性质的应用1.如图，ABC 中，AB AC , BAC 90 , D 是BC 中点，ED FD , ED 与AB 交于E, FD 与AC 交于F .求证：BE AF , AE CF .0 0 " f 亠2.两个全等的含30 , 60角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M ,连结ME,MC .试判断EMC的形状，并说明理由.压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC中，AC BC , C 90 , D为AB边的中点，EDF 90 , EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F .当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1）,易证S DEF S CEF -S ABC.当EDF绕2D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S DEF, S CEF，S ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.C F B图2图3提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。
3. 已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=45°, CD 丄AB 于D, BE 平分/ ABC,且BE X AC 于E,与CD 相交于点F , H 是BC 边的中点，连结 DH 与BE 相交于点G 。
⑴BF=AC （2） CE=1 BF2⑶CE 与BC 的大小关系如何。
考点2:等腰直角三角形（45度的联想）1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边 经过点D ,且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A , B 重合），另一条直角边与/ CBM 的平分线BF 相交于点F.⑴如图14—1，当点E 在AB 边的中点位置时：① 通过测量DE , EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是； ② 连接点E 与AD 边的中点N ,猜想NE 与BF 满足的数量关系是； ③ 请证明你的上述两猜想.⑵ 如图14—2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N, 使得NE=BF ，进而猜想此时 DE 与EF 有怎样的数量关系并证明2. 在 RtMBC 中，AC = BC,/ ACB = 90 ° D 是 AC 的中点，DG 丄 AC 交 AB 于点G.A £B M 014-1圈 14—2（1）如图1, E 为线段DC 上任意一点，点 F 在线段DG 上，且DE=DF,连结EF 与CF,过 点F 作FH 丄FC,交直线 AB 于点H. ① 求证：DG=DC② 判断FH 与FC 的数量关系并加以证明.（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线DG 上，（1）中的其他条件不变，借 助图2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在 （1）中得出的结论是否已知：△ ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A ,且60o 角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合）, 斜边与/ ACM 的平分线CF 交于点F（1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时① 猜想AE 与EF 满足的数量关系是.② 连结点E 与AE 边得中点N,猜想EE 和CF 满足的数量关系是③ 请证明你的上述猜想;（2）如图（2）当点E 在EC 边得任意位置时，AE 和EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？四、角平分线问题发生改变.（本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦） 图（2）图（1）1.如图：E 在线段 CD 上，EA EB 分别平分/ DAB 和/ CBA, / AEB=90 ,设AD= X ,BO y ，且 X,y 满足 X 2 y 2 6x 8y 25(1 )求AD 和 BC 的长；(2)你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论； (3) 你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由2.如图①，0P 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 0P 所在直线为对称轴的全等三角形。