第1章《全等三角形》压轴题训练(1)1.如图，在ABC ∆中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( )A. 4B. 5C. 1D. 22.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ∆的面积为( )A. 15B. 30C. 45D. 603.如图，在Rt ABC ∆中，90,12,6C AC BC ∠=︒==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ∆和QPA ∆全等，则AP 的长为 .4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ∆的面积为 .5. (1)观察推理:如图①，在ABC ∆中，90,ACB AC BC ∠=︒=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ∆≅∆.(2)类比探究:如图②，在Rt ABC ∆中，90,4ACB AC ∠=︒=，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '∆的面积.(3)拓展提升:如图③，在EBC ∆中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=︒==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t .6.【初步探索】(1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=︒. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ∆≅∆，再证AEF AGF ∆≅∆，可得出结论，他的结论应是 .【灵活运用】(2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=︒. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由.【延伸拓展】(3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=︒=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.(2)1.如图，在ABC ∆中，12,8,AB BC BD ==是AC 边上的中线，则BD 的取值范围是( )A. 28BD <<B. 310BD <<C. 210BD <<D. 420BD <<2.如图，在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以,AB AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接,CE BG 和,EG EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论:①BG CE =;②BG CE ⊥;③AM 是AEG ∆的中线;④EAM ABC ∠=∠.其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 13.如图，//,AB CD O 是ACD ∠和BAC ∠的平分线的交点，且OE AC ⊥，垂足为E , OE =2. 5 cm ，则AB 与CD 间的距离为 cm.4.如图，在ABC ∆中，90,45C BAC ∠=︒∠=︒，点M 在线段AB 上，12GMB A ∠=∠，BG MG ⊥，垂足为,G MG 与BC 相交于点H .若MH = 8 cm ，则BG = cm.5.如图，在ABC ∆中10AB AC ==cm, BC =8 cm, D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以 3 cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以a cm/s 的速度运动.设运动的时间为t s.(1)求CP 的长;(用含t 的代数式表示)(2)若以,,C P Q 为顶点的三角形和以,,B D P 为顶点的三角形全等，且B ∠和C ∠是对应角，求a 的值.6.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示:在ABC ∆和DEF ∆中， ,AC DF BC EF ==，B E ∠=∠，然后对B ∠进行分类，可以分为“B ∠是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况:当B ∠为直角时，ABC DEF ∆≅∆.(1)如图①，在ABC ∆和DEF ∆中,AC DF BC EF ==,90B E ∠=∠=︒，根据 ，可以知道Rt ABC Rt DEF ∆≅∆.第二种情况:当B ∠为钝角时，ABC DEF ∆≅∆.(2)如图②，在ABC ∆和DEF ∆中,AC DF BC EF == ,B E ∠=∠，且,B E ∠∠都是钝角.求证: ABC DEF ∆≅∆.第三种情况:当B ∠为锐角时，ABC ∆和DEF ∆不一定全等.(3)在ABC ∆和DEF ∆中，,AC DF BC EF ==，B E ∠=∠,且,B E ∠∠都是锐角，请你用尺规在图③中作出DEF ∆，使DEF ∆和ABC ∆不全等.(不写作法，保留作图痕迹)(4) B ∠还要满足什,,,AC DF BC EF B E ==∠=∠，且,B E ∠∠都是锐角.若 ，则ABC DEF ∆≅∆.参考答案(1)1.C2. B3.6或124. 15. (1),BD l AE l ⊥⊥Q∴90BDC AEC ∠=∠=︒∴Rt AEC ∆中90EAC ACE ∠+∠=︒∵90ACB ∠=︒，180ECD ∠=︒∴90DCB ACE ∠+∠=︒∴EAC DCB ∠=∠在AEC ∆和CDB ∆中AEC CDB EAC DCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEC CDB ∆≅∆(2)如图①，作'B D AC ⊥于点D ，则'90ADB BCA ∠=∠=︒∵斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至'AB ，∴'AB AB =，'90B AB ∠=︒即'90B AC BAC ∠+∠=︒∵在ACB ∆中，90B CAB ∠+∠=︒∴'B B AC ∠=∠在'B AD ∆和ABC ∆中，'''ADB BCA B AD B AB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴'B AD ABC ∆≅∆∴'4B D AC == ∴'11'44822AB C S AC B D ∆=⨯⨯=⨯⨯= (3)如图②根据题意，画出图形.∵3,2BC OC ==∴1OB BC OC =-=∵线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .∴120FOP ∠=︒，OP OF =∴1260∠+∠=︒∵在BCE ∆中，60E ECB ∠=∠=︒∴120OBF PCO ∠=∠=︒∴在PCO ∆中，2360∠+∠=︒∴13∠=∠在BOF ∆和CPO ∆中13OBF PCO OF PO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BOF CPO ∆≅∆∴1PC OB ==∴314EP EC PC =+=+=∴点P 运动的时间44()1t s ==6.(1) BAE FAD EAF ∠+∠=∠(2)成立.理由：延长FD 倒点G ，使得DG BE =，连接AG∵180ADG ADC ∠+∠=︒，180B ADC ∠+∠=︒∴ADG B ∠=∠在ABE ∆和ADG ∆中AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ADG ∆≅∆∴BAE DAG ∠=∠，AE AG =∵EF BE FD =+∴EF DG FD GF =+=在AEF ∆和AGF ∆中AE AG AF AF EF GF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴AEF AGF ∆≅∆∴EAF GAF ∠=∠∵GAF FAD DAG FAD BAE ∠=∠+∠=∠+∠∴BAE FAD EAF ∠+∠=∠ (3) 11802EAF DAB ∠=︒-∠. 证明：在DC 的延长线上取一点G ，使得DG BE =，连接AG∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒∴ADC ABE ∠=∠在ADG ∆和ABE ∆中AD AB ADG ABE DG BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADG ABE ∆≅∆∴AG AE =，DAG BAE ∠=∠∵EF BE FD =+∴EF DG FD =+∵GF DG FD =+∴EF GF =在AEF ∆和AGF ∆中EF GF AE AG AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴AEF AGF ∆≅∆∴EAF GAF ∠=∠∵360EAF GAF GAE ∠+∠+∠=︒∴2()360EAF GAB BAE ∠+∠+∠=︒∴2()360EAF GAB DAG ∠+∠+∠=︒即2360EAF DAB ∠+∠=︒ ∴11802EAF DAB ∠=︒-∠ (2)1.C2.A3.54. 45. (1)由题意，得3BP t =cm ，8BC =cm.∴(83)CP BC BP t =-=-cm.(2)分两种情况讨论:①当BD CP =时，BDP CPQ ∆≅∆∵ 10AB =cm ，D 为AB 的中点 ∴152BD AB == cm. ∴583t =-解得1t = ∵BDP CPQ ∆≅∆∴BP CQ =即311a ⨯=⨯ 1.解得3a =②当BP CP =时，BDP CQP ∆≅∆∴383t t =-，解得43t =∵BDP CQP ∆≅∆∴BD CQ = 即453a =⨯，解得。

154a = 综上所述，a 的值为3或154. 6. (1)HL.(2)如图①，过点C 作CG AB ⊥的延长线于点G ，过点F 作FH DE ⊥的延长线于点H ∵,CG AG FH DH ⊥⊥∴90CGA FHD ∠=∠=︒∵180CBG ABC ∠=︒-∠，180CBG ABC ∠=︒-∠，ABC DEF ∠=∠∴CBG FEH ∠=∠∵BC EF =∴BCG EFH ∆≅∆∴CG FH =又∵AC DF =Rt ACG Rt DFH ∆≅∆∴A D ∠=∠在ABC ∆和DEF ∆中∵ABC DEF ∠=∠，A D ∠=∠，AC DF =∴ABC DEF ∆≅∆(3)如图②，DEF ∆即为所求(4)答案不唯一，如由(3)知以点C 为圆心，AC 的长为半径画弧时，当弧与边AB 的交点在点A 、B 之间时，DEF ∆和ABC ∆不全等;当弧与边AB 交于点B 或没有交点时， ABC DEF ∆≅∆，故AC BC ≥，即当B A ∠≥∠时，ABC DEF ∆≅∆.因此可以填B A ∠≥∠.。