专题一：三 角 函 数【知识脉络】：教学目标：1、正弦、余弦、正切函数的性质，重点掌握[0,2]π上的函数的性质；2、定义域、值域，重点能求正切函数的定义域；3、能从图象上认识函数的各类性质，能用自己的语言把函数性质描述清楚，能写出来。

4、理解平移与伸缩第二块：同角基本关系和诱导公式同角基本关系就掌握好三个公式：2222sin 1sin cos 1,tan ,cos cos 1tan ααααααα+===+ 特别需要说明的是：平方关系中的开方运算，易错！诱导公式的记忆方法很简单，联系两角和与差来记就行！如：333cos()cos cos sin sin sin 222πππαααα+=-= 诱导公式的理解上，需从两角终边的位置关系来认识，如：tan()tan παα+=中涉及两个角是α和πα+，它们的位置是关于原点对称，象限对应关系是一、三或二、四，所以正切符号相同，直接取等号。

其它类似。

第三块：三角变换和差公式：cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=-⎧⎨-=+⎩ sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+=+⎧⎨-=-⎩ tan tan tan()1tan tan tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβ+⎧+=⎪-⎪⎨-⎪-=⎪+⎩2222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin αααααααα==-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 注意：（1）、倍半关系是相对的，如：sin 2sincos22ααα=，sin 42sin 2cos2ααα=，2222cos 2cos 112sin cos sin 2222ααααα=-=-=-等，根据题目的需要来确定倍角还是半角；（2）几个常用的变式：ααααααα222sin 22cos 1,cos 22cos 1,)cos (sin 2sin 1=-=+±=±sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+cos sin )a x b x x φ++，其中tan ,ab φφ=的围根据需要来确定或cos sin )a x b x x φ+=-，其中tan baφ=，φ的围根据需要来确定)cos (sin 22)4sin(),sin (cos 22)4cos(x x x x x x ±=±=±ππ【题型示例】：第一部份“三角函数的图象与性质”熟记定义、定义域、三角值的符号1、若角α的终边过点(2,3)(0)P a a a ≠，则下列不等式正确的是（ ） A 、sin tan 0αα⋅< B 、sin cos 0αα⋅<C 、cos tan 0αα⋅<D 、sin cos 0αα⋅>2、若角α终边上有一点(sin 30,cos30)P ，则α为（其中k Z ∈） A 、26k ππ+ B 、23k ππ+ C 、6k ππ+ D 、3k ππ+3、若sin cos 0,cos tan 0αααα⋅>⋅>，则2α位于 A 、一、三象限 B 、二、四象限 C 、一、二象限 D 、三、四象限 4、已知角α终边上一点(,2)P x，且cos x α=，则x =5、函数tan(2)4y x π=-的定义域为✧ 单调性：求单调区间是重点，三角的单调区间的求法是比较特殊的，掌握好例题所示的方法；另一类题型为比较大小，但都比较简单。

【例题1】（1）求函数sin(2)6y x π=+的单调增区间解：由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得，,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈。

所以，函数的单调增区间为：[,],36k k k Z ππππ-++∈（2）求函数1cos()24y x π=-的单调减区间 。

（3）求函数tan(2)4y x π=-的单调区间 。

7、函数sin()6y x π=+的一个减区间是 。

A 、[,0]2π-B 、7[,]63ππC 、3[,]44ππD 、3[,]22ππ8、在[0,2)π，使函数y =A 、5[,]66ππ B 、5[0,][,]66πππ⋃ C 、711[,]66ππ D 、711[,][,2]66ππππ⋃ 9、172431cos ,cos ,cos 555a b c πππ===，则A 、a b c <<B 、a b c >>C 、c a b <<D 、c b a >>10、若直线的斜率满足：k ≤，则直线的倾斜角的围为 ✧ 奇偶性：联系函数图像来理解奇偶性，即图像的对称性。

✧ 奇函数：sin ,tan y x y x ==，偶函数：cos y x = ✧ 注意变化：如，sin()6y x π=-。

图像平移，可能会改变函数的奇偶性，也有可能不发生改变，如函数sin()y x π=-。

观察图象，很容易得到正确的结论。

11、若函数sin()y x φ=+为奇函数，则φ的值为（k Z ∈） A 、k π B 、2k ππ+C 、6k ππ+D 、3k ππ-12、若函数cos()y x φ=+为奇函数，则φ的值为（k Z ∈） A 、k π B 、2k ππ+C 、6k ππ+D 、3k ππ-✧sin y x =对称轴方程：()2x k k Z ππ=+∈ 对称中心：(,0),k k Z π∈y =对称轴方程：,x k k Z π=∈· 对称中心：(,0),2k k Z π+∈理解：语义上，过顶点与X 轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴，而正、余弦曲线与X 轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。

函数性质上看，若对称轴为x x =，则()f x 必为函数的最大或最小值；若对称点为(,0)x ，则()0f x =。

注意，平移产生的变化。

13、函数sin(2)4y x π=-的一条对称轴方程是A 、8x π=B 、8x π=-C 、4x π=D 、4x π=-14、函数cos()5y x π=+的一个对称中心是A 、3(,0)10π B 、3(,0)10π- C 、4(,0)5π D 、(,0)5π- 15、函数12sin()123y x π=--的对称轴方程为 ，对称中心为值域和最值：1、 掌握好基本函数的值域和最值情况（1）sin ()y x x R =∈值域为[1,1]-，当2()2x k k Z ππ=+∈时，max (sin )1x =；当2()2x k k Z ππ=-∈时，min (sin )1x =-。

注解：联系图象或在象限认识和记忆值域，效果会更好。

（2）cos ()y x x R =∈的值域为[1,1]-，当2()x k k Z π=∈时，max (cos )1x =； 当(21)()x k k Z π=+∈时，min (cos )1x =-。

注解：联系图象或在象限认识和记忆值域，效果会更好。

（3）tan ()2y x x k ππ=≠+的值域为R ，不存在最大值和最小值。

2、理解：函数值域会因定义域的改变而改变，掌握好下面例题所示的方法。

【例题2】若44x ππ-≤≤，求下列函数的值域：（1）2sin 1y x =- （2）12sin y x =- （3）2sin(2)6y x π=-16、若344x ππ-≤≤，求函数12sin(2)6y x π=-+的值域，并求出函数取最大值时的x 的取值集合。

【题型示例】第二部分“同角基本关系和诱导公式”✧ 诱导公式：主要功能是用于化“大角”（超出[0,2]π）为“小角” ✧ 公式：略3、掌握两类基本型：（1）关于sin x 或cos x 的二次函数型【例题3】（1）求函数2cos sin ()y x x x R =-∈的最大值和最小值，并求出对应的x 的取值。

解：22cos sin cos cos 1y x x x x =-=+-，若令cos t x =，则22151()24y t t t =+-=+-由cos [1,1]t x =∈-得：max min(1)1,cos 1,2,151(),cos 2,2423y y t x x k k Zy y t x x k k Zπππ=====∈=-=-==-=±∈即得即得17、求函数2sin 2cos ()y x x x R =+∈的最大值和最小值，并求出对应的x 的取值。

（2）可转化为sin()y A x B ωφ=++或cos()y A x B ωφ=++ 【例题4】、形如cos sin a x b x +的函数可转化为上面的型 求下列函数的最值：（1）sin cos y x x =-，x R ∈（2）cos sin y x x =+，x R ∈（3）cos y x x =，x R ∈（4）sin y x x =+，x R ∈（5）3sin 4cos y x x =-，x R ∈（6）y x x =+，x R ∈（7）sin cos y x x =-，[0,]2x π∈（8）cos y x x =+，[,]22x ππ∈-【例题5】借助三角变换转化成上面的型 求下列函数的最值：（1） 已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f（2） 已知)(,2sin 3cos 2)(2R a a x x x f ∈++=（3） 已知函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x +2cos 2x ,x ∈R.（4）已知向量(sin ,1)a x =，1(cos ,)2b x =-，()(f x =⋅-a a b)18、已知2()sin cos ,()f x x x x a a R =++∈，（1）设]2,0[π∈x ，则a 为何值时，f(x)的最大值为4？（2）若13()22f x ≤≤，求a 的取值围。

周期性：（1）周期的符号形式：()(),f x T f x +=T 为非零常数。

如，sin(2)sin x k x π+=，所以2()k k Z π∈为正弦函数的周期。

其它一些函数也是有周期的：（2）最小正周期：若T 为函数()f x 的周期，则()n T n Z ⋅∈也必为函数()f x 的周期，因此，函数的周期是有无数个的，其中正的最小的一个周期，称为函数的最小正周期，比如，正弦、余弦函数的最小正周期为2π，正切函数的最小正周期为π（3）最小正周期的计算公式：对于sin()y A x B ωφ=++或cos()y A x B ωφ=++，则2T πω=；对于tan()y A x B ωφ=++，则T πω=。