(2011 课标全国 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为
uuuv uuuv
M 是 C 1 上的动点， P 点满足 OP 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C 2
( Ⅰ ) 求 C 2 的方程
( Ⅱ ) 在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
点的交点为 A ，与 C 2 的异于极点的交点为 B ，求 AB
Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为
4sin ，曲线 C 2 的极坐标方程为 8sin 。

射线
与 C 1
的交点 A 的极径为 1 4sin ，
3
1
3
射线
与 C 2 的交点 B 的极径为 2 8sin 。

x 2cos y 2 2sin
为参数)
3
与 C 1的异于极
解析 :(I )设 P(x,y), 则由条件知
M(x , y
). 由于 M 点在 C 1上，所以
22
从而 C 2的参数方程为 x 2
y y 2
x 4cos 即
y 4 4sin
x 4cos y 4
4sin
为参数)
2cos , 2 2sin
32
3 所以
|AB| | 2 1| 2 3.
x 2cos
（2012 课标全国）已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x
y 3sin
轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2 的坐标系方程是 2 ，正方形ABCD 的顶点都在
C2 上，且A,B,C,D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2, ）
3
（1）求点A,B,C,D 的直角坐标；
2 2 2 2
2）设P 为C1上任意一点，求PA PB PC PD 的取值范围。

5 4 11 解析】(1)点A,B,C,D 的极坐标为(2, ),(2, 5 ),(2, 4 ),(2, 11 )
3 6 3 6
点A,B,C,D 的直角坐标为(1, 3),( 3,1),( 1, 3),( 3, 1)
x0 2cos
(2)设P(x0,y0) ；则0 ( 为参数 ) y0 3sin
2 2 2 2 2 2
t PA PB PC PD 4x24y240
56 20sin 2[56,76]
（2013 课标全国Ⅰ ）（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程
x 4 5cost,
已知曲线C1 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
y 5 5sint
极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
（1）把C1 的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0 ≤ θ<2π）．
x 4 5cos t, 2 2
解：（1）将消去参数t ，化为普通方程（x－4）2＋（y－5）2＝25，y 5 5sint
22 即 C 1： x 2
＋ y 2
－ 8x －10y ＋16＝ 0.
x cos , 2 2
将
代入 x 2
＋y 2
－8x －10y ＋16＝0 得
y sin
2
ρ －8ρ cos θ － 10ρsin θ ＋16＝ 0.
所以 C 1 的极坐标方程为
2
ρ －8ρ cos θ － 10ρsin θ ＋16＝ 0. (2) C 2的普通方程为 x 2
＋y 2
－2y ＝ 0.
x 2 y 2
8x 10y 16 0,
22 x 2 y 2
2y 0
（2013 课标全国Ⅱ ） （本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
x 2cos t ,
已知动点 P ，Q 都在曲线 C ：
（t 为参数 ）上，对应参数分别为 t ＝α 与 t ＝2α（0
y 2sint
<α <2π） ，M 为 PQ 的中点． （1） 求 M 的轨迹的参数方程；
（2） 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．
解： （1） 依题意有 P （2cos α ，2sin α） ， Q （2cos 2 α ，2sin 2 α ） ， 因此 M （cos α＋cos 2 α，sin α＋sin 2 α）．
x cos
cos2 ,
M 的轨迹的参数方程为
（ α 为参数， 0< α<2π） ．
y sin
sin2
（2） M 点到坐标原点的距离
解得
x y 11
,或
x 0, y 2.
所以 C 1 与 C 2交点的极坐标分别为
d x2 y2 2 2cos （0 < α<2π）．
当α＝π 时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
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x
2 y 2
x ＝ 2＋ t ，
（2013 课标全国Ⅰ ） 已知曲线 C ： x
＋y
＝1，直线 l ：
（t 为参数 ）．
4 9
y ＝ 2－ 2t
（1）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
（2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线， 交 l 于点 A ，求 |PA|的最大值与最小值．
x ＝ 2cos θ ，
解： （1） 曲线 C 的参数方程为 （θ为参数 ），
y ＝ 3sin θ
直线 l 的普通方程为 2x ＋ y － 6＝ 0.
（2）曲线 C 上任意一点 P （2cos θ ， 3sin θ ）到 l 的距离
其中 α为锐角，且 tan α ＝ 43
.
当 sin （ θ＋α）＝－ 1 时， |PA|取得最大值，最大值为
22 5
当 sin （θ＋α）＝ 1 时， |PA|取得最小值，最小值为
2 5
（2014 课标全国Ⅱ ） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立 精
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|4cos θ ＋ 3sin θ － 6|，
则|PA|＝ d
sin 30 ° 25 5 |5sin （ θ＋ α）－ 6|，
（1）求 C 的参数方程；
（2）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l ：y ＝ 3x ＋2垂直，根据 （1）中你得到的参 数
方程，确定 D 的坐标．
解： （1）C 的普通方程为 （x －1）2
＋y 2
＝1（0≤y ≤1）．
可得 C 的参数方程为
x ＝ 1＋ cos t ，
（t 为参数， 0≤t ≤ π）． y ＝sin t ，
（2）设 D （1＋cos t ，sin t ）．由（1）知 C 是以 G （1，0）为圆心， 1为半径的上半圆．因
为 C 在
故 D 的直角坐标为 1＋cos π3
，sin π
3
，即 3
2
， 2
3
.
22 （2015课标全国
Ⅰ ）在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1: x = 2，圆 C 2： x 1 y 2 1, 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .
Ⅰ）求 C 1， C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 C 3的极坐标方程为 R ，设 C 2与C 3的交点为 M ,N ,求 C 2MN 4
的面积 .
x tcos ,
（2015 课标全国Ⅱ ）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C 1:
（ t 为参数， t 0），其
1
y tsin ,
中 0 ，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C 2 :
2sin ，
极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同，
tan t ＝ 3，t ＝
π
3
.
ρ＝ 2cos θ，
曲线C3 : 2 3cos ．
Ⅰ) .求C2与C1交点的直角坐标；
Ⅱ) .若C2与C1相交于点A ，C3与C1相交于点B，求AB 的最大值．。