第六章一阶电路——经典分析法（微分方程描述）——运算分析法（代数方程描述）见第十三章一、重点和难点1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求解；3. 求解一阶电路的三要素方法；电路初始条件的概念和确定方法；1.换路定理（换路规则）仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。

①电容元件：u C(0-) = u C(0+)；（即：q C(0-) = q C(0+)）；i C(0-) ≠i C(0+)。

②电感元件：i L(0-) = i L(0+)；（即：ΨL(0-) = ΨL(0+)）；u C(0-) ≠u C(0+)。

③电阻元件：u R(0-) ≠u R(0+)；i R(0-) ≠i R(0+)。

因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。

电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。

如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。

2.画t=0+时刻的等效电路画t=0+时刻等效电路的规则：①对电容元件，如u C(0-) = 0，则把电容元件短路；如u C(0-) ≠ 0，则用理想电压源（其数值为u C(0-)）替代电容元件。

②对电感元件，如i L(0-) = 0，则把电感元件开路；如i L(0-) ≠ 0，则用理想电流源（其数值为i L(0-)）替代电感元件。

画t=0+时刻等效电路的应用：一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。

3. 时间常数τ①物理意义：衡量过渡过程快慢的技术指标(即等于一阶微分方程的特征方程的特征根)。

仅取决于电路的结构和元件的参数。

②几何意义：状态变量变化曲线中时间坐标轴上任意一点次切距的长度（即曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过τ时间后为零值）。

③单位：m(秒)、ms(毫秒)。

④τ的计算：RC电路，τRC =R eq C；RL电路，τLC =L/R eq。

⑤注意问题：R eq是状态元件两端的等效电阻。

如含有受控电源，在求等效电阻时需采用“加压求流法”。

4. 零输入响应（又称放电过程）所谓零输入响应，即输入信号为零，而是由电路中动态元件的初始值（初始储能）引起的响应。

①RC电路：u C(t) = u C(0+)e-(1/τ)t。

②LC电路：i L(t) = i L(0+)e-(1/τ)t。

5. 零状态响应（又称充电过程）所谓零状态响应，即初始状态为零，输入不等于零，而是由电路中输入信号引起的响应。

①RC电路：u C(t) = U S（1-e-(1/τ)t）。

②LC电路：i L(t) = I S（1-e-(1/τ)t）。

6. 全响应（又称充放电过程）所谓全响应，即初始状态不为零，输入不等于零，而是由电路中输入信号和初始值（初始储能）引起的响应。

三要素法：f(t)= f(∝)+[f(0+)- f(∝)] e-(1/τ)t或f(t)= f(0+)e-(1/τ)t+ f(∝)(1- e-(1/τ)t)。

①RC电路：u C(t) = u C(∝)+[u C(0+u C(∝))e-(1/τ)t。

②LC电路：i L(t) = i L(∝)+[i L(0+)- i L(∝)]e-(1/τ)t。

以上两个式子是三要素法公式的具体应用。

对于非状态变量同样适用。

7. 阶跃响应所谓单位阶跃响应，就是动态电路对于单位阶跃函数输入[ε(t)]的零状态响应。

所谓阶跃响应，就是动态电路对于阶跃函数输入[Aε(t)]的零状态响应。

理解单位阶跃函数的数学表达形式，以及任意时刻t0的阶跃函数[Aε(t-t0)]，也称为延迟阶跃函数。

单位阶跃函数的主要性质：① 可以用来“起始”任意一个函数f (t )。

② 可以用来描述矩形脉冲。

③ 阶跃函数对时间的一阶导数等于冲激函数。

单位阶跃响应与直流激励的响应相同。

8. 冲激响应所谓单位冲激响应，就是动态电路对于单位冲激函数输入[δ(t )]的零状态响应。

所谓冲激响应，就是动态电路对于冲激函数输入[A δ(t )]的零状态响应。

理解单位冲激函数（又称δ函数）的数学表达形式，以及任意时刻t 0的冲激函数[A δ(t -t 0)]。

单位冲激函数的主要性质：① 单位冲激函数对时间的积分等于单位阶跃函数。

② 取样性质，即冲激函数可以把一个函数在某一时刻的“筛”出来。

③ 当把一个单位冲激电流[δi (t )A ]加到初始电压为零且C = 1F 的电容上，其电容电压瞬间从零跃变到1V 。

④ 当把一个单位冲激电压[δi (t )V ]加到初始电流为零且L = 1H 的电感上，其电感电流瞬间从零跃变到1A 。

二、典型例题分析【例题1】：动态电路换路后初始值的求解。

图6.1(a)所示电路在t ＜0时电路处于稳态，求t = 0 时闭合开关后电感电压u L (0+)。

解：(1) 首先由图6.1(b) t =0－电路求电感电流，此时电感处于短路状态，图6.1(a) 图6.1(b)(2) 由换路定律得： 则：i L (0+) = i L (0－)= 2A(3) 画出t = 0+时刻的等效电路如图6.1(c) 所示，电感用2A电流源替代，解得：；而u L(0-)=0V图6.1(c)注意：电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：【例题2】：直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。

图6.2(a)所示电路在t＜0时处于稳态，t=0时闭合开关，求电感电压u L(0+)和电容电流i C(0+)图6.2(a) 图6.2（b）解：(1) 将电路中的电感短路，电容开路，画出t=0-时刻的等效电路如图6.2(b)所示，则：；(2) 画出t=0+等效电路如图6.2(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：∵则：图6.2(c)【例题3】：求图6.3(a)所示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。

图6.3(a) 图6.3(b)解：(1) 把图6.3(a)电路中的电感短路，电容开路，如图6.3(b)所示，则：(2) 画出t=0+等效电路如图6.3(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：图6.3(c)【例题4】：图6.4所示电路在t=0时，闭合开关K，已知u C(0－)=0。

求：(1)电容电压和电流；(2)电容充电至u C＝80V时所花费的时间t 。

图6.4解：(1)这是一个RC电路零状态响应问题，时间常数为：t＞0+后，电容电压为：充电电流为：(2)设经过t1秒，u C＝80V，即：解得：t1=8.045ms【例题5】：图6.5所示电路原来处于稳定状态，t=0时打开开关K，求t＞0后的电感电流i L和电压u L。

图6.5解：这是一个一阶RL电路全响应问题，电感电流的初始值为：时间常数为：因此零输入响应为：零状态响应为：全响应为：也可以求出稳态分量：则全响应为：代入初值有：6 ＝2＋A，得：A=4【例题6】：图6.6.1所示电路原来处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t＞0后的电容电压u C并画出波形图。

图6.6.1 图6.6.2解：这是一个一阶RC电路全响应问题，应用三要素法，电容电压的初始值为：稳态值为：时间常数为：代入三要素公式：随时间变化的波形如图6.6.2所示。

【例题7】：图6.7.1所示电路原来处于稳定状态，t=0时开关由1合到2，求换路后的电容电压u C(t)。

图6.7.1 图6.7.2解：这是一个一阶RC电路全响应的问题，应用三要素法求。

初始值：稳态值：时间常数为：由于含有受控源，所以应用图6.7.2所示电路求等效电阻：代入三要素公式得：【例题8】：图6.8.1所示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。

图6.8.1解：开关闭合后电路分为两个一阶电路，应用三要素法，电容电路的三要素为：初始值：稳态值：时间常数：电感电路的三要素为：初始值：稳态值：时间常数：代入三要素公式得：因此：【例题9】：用阶跃函数表示图6.9所示函数f（t）。

(a) (b) (c)图6.9解：(a)图：(b)图：(c)图：【例题10】：电路如图6.10(a)所示，求：电源i s(t)为单位冲激时的电路响应u C(t)和i C(t)。

解：先求电路的单位阶跃响应, 令：(a) (b) (c)图6.10则：t = RC根据单位冲激响应与单位阶跃响应之间的关系, 当时有：根据冲击函数的筛分性质：上式等号右边第一项为零，最后得：图6.10(b)(c)分别给出了阶跃响应和冲激响应的波形。

【例题11】：求图6.11所示电路电容加冲击激励后的电压。

（a）（b）图6.11解：电容电流和电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。

三、典型习题【题1】：图6.12所示电路为t ≥0时的电路,已知()u C 02=V,()i L 01=A,则()i 0=____A ；()u L 0=____V 。

图6.12【题2】：图6.13所示电路中，已知()i L 00-=，()u C 05-= V ，则d d u tC0+=______；d d itL0+=______。

图6.13【题3】：图6.14所示电路在换路前处于稳态，t =0时开关接通，则()u C 0+=_____； ()i 10+=______； ()i 20+=_____； ()i C 0+=______。

图6.14【题4】：图6.15所示电路在t =-0时已达稳态，t =0时开关断开，则()i L 0+=_ __，()u C 0+=_ ___，()i 0+=_ ___。

图6.15【题5】：图6.16所示电路中，t =0时开关打开，打开前电路已处于稳态。

t =+0时u 和d utd 之值分别为： 答（ ） A.32V ，32V s ； B. 13V ，13V s ； C. 13V ，0； D. 13V ，-13V s图6.16【题6】：图6.17所示电路在t =-0时已达稳态，t =0时开关接通，则()i L 0+=______，()u L 0+=______。

图6.17【题7】：电路如图6.18所示，则电路的时间常数等于 答（ ）A.14.s μ； B.11.s μ； C. 1μs ； D. 38.s με()V t图6.18【题8】：图6.19所示含受控源电路中转移电导g =05.s ，电路的时间常数为 答（ ）A.43s ;B.0.5s;C.1s;D. 1.1s 。

u图6.19【题9】：图6.20所示含受控源电路的时间常数为_____________。

图6.20【题10】：一阶电路的电压按指数律衰减，当t =0时为15V ，t =2s 时为6V ，则电路的时间常数τ为A. 0.458s ；B. 2.18s ；C. 0.2s ；D. 0.1s 答（ ） 【题11】：电路如图6.21所示，开关闭合 后电路的时间常数τ为____________。