2
(x,t) dx 1

满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。
（2）波函数的标准条件
• 单值（因为在任何一个小体积元内出现的概率是
唯一的）。
• 有限（概率不可能无限大）。
• 连续（概率不会在某处发生突变）。
1933诺贝尔物理学奖
E.薛定谔 量子力学的
广泛发展
二、薛定谔方程
质量为m的粒子，在势能函数U(r,t)的势场中运
动，当它的运动速度远小于光速时，其波函数所满
足的方程为

i H
t
式中：
Hˆ


2 2m
2 ( x2

2 y 2

2 z 2
)
U (r , t)
称哈密顿算符
U
(r , t)
:微观粒子所在势场的势能函数。
上式称薛定谔方程，是量子力学的基本假设 。
定态薛定谔方程
当U
阱外：(x) 0
阱内： 令
k2

2mE 2
得定态方程:
d 2x k2x 0
dx2
其通解：x sin kx
（3）根据标准条件确定k、
0 sin 0 a sin ka 0
又称为边界条件

0 ka n

U
(r )
时，波函数为:


(r ,t) (r ) f (t)
代入薛定谔方程得
i
(r) df

H[(r) f (t)]

f (t) H (r)
两边除以 (drt) f (t)
i df
1

H (r)
f dt (r)
左边是时间的函数，右边是空间坐标的函 数，只有两边都等于常数E才成立，即
i df E f dt
(2)
Hˆ(r)

E(r )
(3)
（２）式的解为
i Et
f (t) ce
（３）式称为定态薛定谔方程， r 只是空间坐标
的函数，如果给定了U (r) 和边界条件，就可根据该式求
出 (r) 。所以
i Et
(r,t) (r)e
在定态中：

mx

2.2 1030 (m
/
s)
例2：电子的波动性。原子的线度为10-10m，求原 子中电子速度的不确定量。
x

mx
1.2106 (m
/
s)
第2节 波函数和薛定谔方程
一、波函数及其统计解释
1、 波函数
一个沿x轴正向传播的平面波，其波动方程为：
y(x,t) Acos 2 (t x )
粒子运动状态的波函数的模的平方代表着微
观粒子在空间某点出现的概率密度（空间某点单 位体积内发现粒子的概率）。
p(r , t)

（r, t )
2

(r ,
t
)


(r ,
t
)
（1） 波函数的归一化条件
粒子在整个空间出现的概率为1，即
2
V (r ,t) dV 1
对于一维运动有：
势能函数为：
0 (0 x a) U (x) (x 0 , x a)
U
U
Ⅱ ⅠⅡ
U 0
x
O
a
（1）写出定态薛定谔方程
Hˆ 2 2 U x
2m 2x2
Hˆx


2 2m

d
2x
dx2


U
xx


Ex


屏
电子束
a缝
2 px
X方向的动量 px 的不确定量为：
p幕
py
px px p sin 第1级暗纹的衍射角满足： a sin
px x h
px x h
考虑到在两个第一级极小值之外还有电子出现，所以：
px x h
微观粒子的位置和动量的不确定关系：
i
Et) sin

a

x
(0 x a)
来描述，式中:E ，a为常量，A为任意常数。求：
(1)归一化波函数；
(2)概率密度；
(3)概率密度最大值的位置。
（本题与教材P191，【例18-3】类似）
第3节 薛定谔方程在一维定态问题中的应用 一、一维无限深势阱
金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动
x y
px p y

2 2
z pz

2
物理意义：
微观粒子的位置和 动量不能同时确定
这就是著名的海森伯不确定关系式
例1：子弹的粒子性。设子弹的质量为0.01kg，枪 口的直径为0.5cm，试用测不准关系计算子弹射出 枪口的横向速度。
x
将上式改写成复数形式：
i2 (t x )
(x,t) Ae
由德布罗意关系得
E , h
h
px
( x, t )

Ae
i
(
Et

px
x
)
将上式推广到三维空间后，得到
(r , t)


i
(
Et

pr )
Ae
上式称自由粒子的波函数 。
2、 波函数的统计解释
2 2m

d
2x
dx2

Ex
阱内

2 2m

d
2x
dx2

U
x
x

Ex阱外
（2）定态薛定谔方程的通解

2 2m

d
2x
dx2

Ex
阱内

2 2m

d
2x
dx2

U
x
x

Ex阱外
n

0,1,2,
当 n = 0 时得 x 0 ，在势阱中找到粒子的概
率为 0，与题目要求不符，舍去。
又因为当n = -1,-2,…分别与n = 1,2,…实际上是
代表着同一种概率分布状态, 所以
k n n 1,2,3,
a
0 x 0, x a
定态薛定谔方程的解为：x
p(r , t)

(r ,
t
)



(r ,
t
)

(r )
2
r满足的条件：
•标准条件（单值、有限、连续）。 •归一化条件。 •对坐标的一阶偏导必须存在且连续。
例：假设粒子只在一维空间中运动，其状态可用波
函数
0
(x 0, x a)
（x, t )


A exp(
1932诺贝尔物理学奖
W.海森伯 创立量子力学，
并导致氢的同素 异形的发现
第1节 不确定关系
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率 波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。x电源自束a缝屏2
幕
衍射图样
X方向电子的位置不确定量为： x a
x
x a