一般情况角动量方向与转轴方向并不相同。
L I
刚体转动动能：
I为转动惯量是张量。
**当转轴是主轴时，该张量退化为数。
1 2 E k I 2
12
质点直线运动与刚体转动的比较：
质点 动量： 刚体
P mv
1 mv 2 2
角动量： L I
动能：
1 2 E k I 2
也可写成切向、法向分量的形式：
mi
vi
ri
O
dv i at Ri dt
an v2 i Ri 2 Ri
、 是矢量，在
定轴转动中轴的方 位不变，所以可用 标量表示其正负向。
5
刚体转动的角速度相对于刚体上任意点都相同 （转轴方向不变）。 在刚体作匀变速定轴转动（为恒量） 时相应的运动学方程：
第 四 章
刚 体 的 运 动 规 律
1
第四章
刚体的运动规律
§4-1 刚体的平动和定轴转动
1.1 刚体的平动 1.2 刚体的定轴转动
§4-2 刚体对定轴的转动惯量
2.1 刚体的角动量
2.2 刚体的转动动能
作业：4-3、4-4、4-5
2
§4-1 刚体的平动和定轴转动
刚体：它是质点组的一个特殊系统，当刚体受力 或力矩作用时，组成它的所有质点之间的距离、 形状和体积保持不变
如果转动中，其转轴固定不动称为刚体的定轴转动
在作定轴转动的各质元到转轴Z的垂 直距离Ri，在同样的时间间隔内转过 相同的角度，因此可用角位移 角速度、角加速度 来描述其运动。 d ＝lim t 0 t dt
d 2 lim t 0 t dt 2
F
0
fr
N
0 150r / min 5rad/s
0
t 30s

0 t

0
1 r =2 rad


6
rad/s 2
7


6 负号表示角加速度方向 与角速度方向相反。
rad/s
2
fr
N

0
飞轮在30秒内转过的角度和转数
z

1 1 2 E ki mi v i mi 2 Ri2 2 2
整个刚体的动能为
1 2 mi Ri2 2
z i ri
O
Ri
vi
mi
E k E ki
11
2.3 刚体的转动惯量
Iz
定义
m R
i i
i
2 i
刚体相对于转轴 Z的转动惯量
Lz
2 m R i i I z
解： I R 2dm R 2 dm mR 2
R与积分无关。
I 具有可加性，所以若
求质量为m、半径为R 的 薄圆筒的转动惯量，轴 与圆筒平面垂直并通过 轴心。（不计薄圆筒厚 度）
O
R dm
它的转动惯量仍为 mR 2
2 i
i
z

i ˆ L m i ( z i k Ri ) v i
z i ri
2 i
Ri
vi
mi
Lz Liz mi R
i i
O
转轴上的分量。
Lz是刚体定轴转动中对轴上任一点的角动量在
10
2.2 刚体的转动动能
考虑刚体上第 i 个质元，质量 为 mi ，速度为 vi = R i ， 动能为
质量的线密度 质量的面密度
m dm lim 质量的体密度 V dV V 0
14
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm
dl
质量为面分布
dm ds
质量为体分布 dm
dV
15
例4.2 求质量为m、半径为R 的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。
75rad 2
2 2 0
n 37.5 2
制动后6秒飞轮的角速度
0 t 4rad s 1
方向与初始角速度方向相同
8
制动后6秒飞轮边缘的线速度
v r 2.5m / s
制动后6秒飞轮边缘的加速度 a r ( r ) 切向加速度：
dv at r 0.105rad / s 2 dt
负号表示切向加速度方向与角速度方向相反。 法向加速度：
v2 an r 2 31.6m s 2 r
9
§4-2 刚体定轴转动
2.1 刚体的角动量 L ri mi v i
LiZ mi R
动能： E k
质量：质点惯 性的量度 m
转动惯量：刚体 惯性的量度 I
13
2 I＝ m R i i i
Ri为质元 m i 到转轴的垂直距离
若质量连续分布
I r dm
2
在（SI）中，I 的单位：kgm2 量纲：ML2
m dm lim dl V 0 l
m dm lim dS V 0 S
1.1 刚体的平动
刚体平动的描述 刚体上任意一条直线在各时刻的 位置都相互平行，即所有质点沿 平行路径运动，称为刚体的平动； 任一质元都可代表整个刚体的平动。 刚体的平动：选用质心的运动讨论刚体的平动， 质心运动定理描述其力学规律
3
1.2 刚体的转动：对点、对轴 （只讨论定轴转动）
在运动过程中所有质元都绕同一直线作圆周运动， 则这种运动称为刚体的转动。该直线称为转轴。
z


4
角速度、角加速度的方向与转轴成 右手螺旋关系
z
v i Ri ri

dv i d ai ri v i dt dt
a i ri ( ri )
A
0 t ；
1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2

A
B
B 结论：刚体运动是既有平动又有转动 可用质心的平动加绕质心的转动来描述。

6
例4.1 一个飞轮的半径为0.2m, 转速 为每分150转，因受制动而均匀减速 经30.0秒停止转动。求（1）飞轮的 角加速度和在这段制动时间内飞轮 的转数；（2）制动开始后6秒时飞 轮的角速度、飞轮边缘一点的速度 和加速度 解：飞轮制动时有角加速度