热传导与热辐射大作业报告目录一、作业题目.............................................................................................................................. - 1 -二、作业解答.............................................................................................................................. - 2 - 个人感想.................................................................................................................................... - 17 - 附件.计算中所用程序.............................................................................................................. - 18 -一矩形平板a x ≤≤0, b y ≤≤0，内有均匀恒定热源0g ，在0=x 及0=y 处绝热，在a x =及b y =处保持温度1T ，初始时刻温度为0T ，如右图1所示：1、求0>t 时，矩形区域内的温度分布()t y x T ,,的解析表达式；2、若m a 18=，m b 12=，301m W g =，6T 1=0K m W k ⋅=0.1，热扩散系数20.8m s α=。

请根据1中所求温度分布用MATLAB 软件绘出下列结果，加以详细物理比较和分析：(a)300s 内，在同一图中画出点)4,0(、)8,0(、()0,6、)0,12(、)6,9(（单位：m ）温度随时间的变化；(b)200s 内，画出点)4,18(、)8,18(、()12,6、)12,12(、)6,9(（单位：m ）处，分别沿x 、y 方向热流密度值随时间的变化；(c) 画出s s s s s t 1501251007550、、、、=时刻区域内的等温线； (d)300s 内，在同一图中画出点()0,9（单位：m ）在0g 分别等于31m W ，32m W ，33m W 情况下的温度变化；(e) 300s 内，比较点(9,6) （单位：m ）在其它参数不变情况下热导率分别为K m W ⋅5.0、K m W ⋅0.1和K m W ⋅5.1的温度、热流密度变化；(f)300s 内，比较点(9,6) （单位：m ）在其它参数不变情况下热扩散系数分别为m 24.0、s m 28.0和s m 22.1的温度、热流密度变化； 3、运用有限差分法计算2中(b)、(d)和(e)，并与解析解结果进行比较，且需将数值解与解析解的相对误差减小到1‰以下；4、附上源程序和个人体会；以报告形式整理上述结果，用A4纸打印上交。

1、求0>t 时，矩形区域内的温度分布()t y x T ,,的解析表达式；解答：我们令1T T θ-=，则可以得到一个方程和边界条件：t1k g y x 02222∂∂=+∂∂+∂∂Tαθθ （1-1）.0,0d ==x dxθa 0==x ，θ0,0yd ==y d θb ==y 0，θ 0t 10=-=，T T θ将上式分解为一个)y x s ，（θ的稳态问题：0kg y x 02s 22s 2=+∂∂+∂∂θθ （1-2）.0,0d s==x dxθa 0s ==x ，θ0,0yd ==y d sθ b ==y 0s ，θ 和一个),,h t y x （θ的其次问题： t1y x 2222∂∂=∂∂+∂∂Th h αθθ （1-3）.0,0d ==x dxhθ a 0==x h ，θ0,0yd ==y d hθb h ==y 0，θ其中),(),),(),h y x f y x y x F y x s *≡-=（（θθ则原问题的解根据下式求得：),,(),(),,t y x y x t y x h s θθθ+=（ （1-4）发热强度为常数的特解可从表2-4中查的，则新变量)y x s ，（θ可定义为：A x kg +-=20s2)y x )y x ，（，（θθ （1-5） 将（1-5）带入（1-2）整理得到：，（0y),(x ),2222=∂∂+∂∂y x y x θθ b y a x <<<<0,0 （1-6）.0,0d ==x dxθa a 220=-=x A kg ，θ0,0yd ==y d θb A x k g =-=y 220，θ 若令常数202ga kA =，则上式可以变为：，（0y ),(x ),2222=∂∂+∂∂y x y x θθ b y a x <<<<0,0 （1-7）.0,0d ==x dxθ a 0==x ，θ 0,0yd ==y d θb x f ==y )(，θ其中)(2)(220a x kg x f -=假定),y x （θ可以分离出如下形式：)()(),y Y x X y x =（θ （1-8） 对应于)()(y Y x X 和的分离方程为： 0)()(d 222=+x X dxx X β （1-9）0,0==x dxdXa x X ==，00)()(d 222=-y Y dyy Y β （1-10）0,0==y dydYb y x f Y ==，)(在)(x X 中特征值问题的解可以直接从表2-2第6条中得到，只需要用a 代替L ，x x X m m ββcos ),=（（1-11）a2)1=m N β（ （1-12）m β是下面方程的正根：0a cos =m β （1-13）方程（1-10）的解可以取为y h Y m m ββcos y ,=）（（1-14）),y x （θ的完全解由下式组成：∑∞==1cos cosh ),(m m m m x y C y x ββθ （1-15）此式满足热传导问题（1-7）及三个齐次边界条件，其中，系数m C 可以根据方程的解还应满足非齐次的边界条件来决定。

利用b y =的边界条件可得：∑∞==1cos cosh )(m m m m x b C x f ββa x <<0 （1-16）利用函数x m βcos 的正交性可以求得系数m C ，⎰=a mm dx x f x b N C 0'''m m )(cos cosh 1βββ）（ （1-17）式中：3m0'2a182'0''''sin )(2cos )(cos ββββk ag dx a x k g x dx x f x m m m =-⋅=⋅⎰⎰将这个表达式带入式（1-15），其中范数）（m βN 在前面已经给出，解得结果为301m sin cos cosh bcosh 12),m m m m m k ag x y a y x βββββθ⋅⋅⋅=∑∞=（（1-18）则：A x kg +-=20s 2)y x )y x ，（，（θθ )(2sin g cos cosh bcosh 12220301m x a k gk a x y a m m m m m -+⋅⋅⋅=∑∞=βββββ（1-19） 假定),,(h t y x θ分离成如下表达式)()()(),,(h y Y x X t t y x Γ=θ （1-20） 对应于函数)(x X 和)(y Y 的分离方程为)(x X ：0)()(d 222=+x X dxx X β a x <<0 （1-21）0,0==x dxdXa x X ==，0)(y Y ：0)()(d 222=-y Y dyy Y γ b y <<0 （1-22）0,0==y dydYb y Y ==，0)(t Γ的解为：tv t )(22n e)(γβα+-=Γ （1-23）上述问题的完全解为： ∑∑∞=∞=+-=11)(h ),(),(),,(22nm n v n tmn y Y x X e C t y x v γβθγβα（1-24）其中0<x<a,0<y<b 。

当t=0时，上式变为：∑∑∞=∞==11h ),(),(),(m n v n nv y Y x X C y x γβθ （1-25）其中0<x<a,0<y<b 。

确定未知系数m n C 的方法是，在上式两边逐项用如下算子作运算：⎰a 0n ),(dx x X β及⎰b0v ),(dy y Y γ 并利用这些函数的正交性，得到：⎰⎰=a 0b 0''''''v n nv ),(),(),(1dy dx y x y Y x X N N C h v n θγβγβ）（）（ （1-26）最终得到问题的解为：∑∑∞=∞=+-=11v n )(h ),(),(1),,(22m n v n ty Y x X N N e t y x v n γβγβθγβα）（）（⎰⎰⋅a0b''''''n ),(),(dy dx y x y Y x X h v θγβ），（（1-27）式中出现的特征函数，特征值及范数可以从表2-2中直接查得：x x X n n cos )(ββ=， （1-28）a2)(1n =βN （1-29）且m β为如下方程的正根：0cos n =a β（1-30）满足特征值问题的函数),(y Y n γ对应于表2-2中的第6条，得到：y y Y v γγcos ),(v =（1-31）b2)(1v =γN （1-32）且n γ是如下方程的正根：0b cos v =γ最后得到：∑∑∞=∞=+-⋅=11)(h cos cos 14),,(22nm n v n ty x abe t y x v γβθγβα ⎰⎰⋅a 0b0''''''n ),(cos cos dy dx y x y x h v θγβ （1-33） 令'''''v 'n a 00),(cos cos dy dx y x y x I h bθγβ⎰⎰=⎰⎰∑∞=-+⋅⋅--=a 001''2203''010'')](2sin cos cosh cosh k 2[cos cos bm m m m m m v n dy dx x a k g a x y ba g T T y x βββββγβ⎰⎰-=a 00''10''cos cos bvndy dx T T y x ）（γβ⎰⎰∑∞=⋅⋅⋅+a 001''3''0''sin cos cosh cosh 2cos cos b m m m m m m v n dy dx a x y bak g y x βββββγβ ⎰⎰-⋅+a 00''220'')(2cos cos b v n dy dx x a kg y x γβ其中令vn v n bv n ba T T dy dx T T yx I γβγβγβsin sin cos cos 10a 00''10''1）（）（-=-=⎰⎰令⎰⎰∑∞=⋅⋅⋅=a 001''3''0''2sin cos cosh cosh 2cos cos b m mm m m m v n dy dx a x y b ak g y x I βββββγβ ∑⎰⎰∞==10b0''''''30cos cosh cos cos cosh sin 2m a m m v n mmmdy dx x y y x b ak ag ββγββββ∑⎰⎰∞==10b''''''30cosh cos cos cos cosh sin 2m am v m n mm m dy y y dx x x b ak ag βγβββββ根据余弦函数的正交性，只有当m=n 时积分才不为0，故上式可以化为：⎰⎰a n v n n n m dy y y dx x x b ak a g 0b 0''''''3n 0cosh cos cos cos cosh sin 2βγβββββ 再令⎰==an n a dx x x I 0'''212cos cos ββb b h dy y y I v n v v n v γβγβγβγsin cos cosh cos 22n b'''22+==⎰所以)(sin sin cosh )1(2223n 22213n 02v n v m V n n ba I Ib ak g I γββγβγββ+=⋅⋅-= 令30a 00''220''3sin sin )(2cos cos nv n v b v n k a b g dy dx x a kg y x I βγβγγβ-=-⋅=⎰⎰ 所以)()[(1222202010n 321v n n v n v k g k g T T I I I I γββγβγβ++--=++= 由（1-4）、（1-19）及（1-33）可知)(2cos cosh 2),,(2201cosh sin 30x a kg x y t y x T m m m bak ag mmm -+-=∑∞=βββββ∑∑∞=∞=+-⋅++--+11v222221n)(coscos])()[(sinsin422nmvnvnnvnvvmt yxkgkgTTbaeabvγβγββγβγβγβγβα1T+。