第19讲分类讨论思想的四种常见题型
【知识点睛】
分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，是把要研究的数学对象按照标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想，它是问题不能以同一种方法处理或同一形式来表述、概括时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将对象划分为若干个既有联系又有区别的部分，进行逐类讨论，最后把几类结论汇总，从而得出问题的答案，分类讨论的实质是化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之.
【例题精讲】
例已知AD为等腰三角形ABC的腰BC上的高，60
DAB
∠=︒，则△ABC中各内角的度数为。

题型1 分类讨论思想在求等腰三角形边长中的应用
1.已知等腰三角形的周长是24cm.
（1）腰长是底边长的2倍，求腰长；（2）已知其中一边长为6cm，求其他两边长.
题型2 分类讨论思想在求角度数中的应用2.已知BD，CE是△ABC的高，且直线BD，CE相交所成的角中有一个角为45°，求△BAC的度数.题型3 分类讨论思想在求完全平方式中字母值中的应用
3.二次三项式29
x kx
-+是一个完全平方式，求k的值.
题型4 分类讨论思想在求分式方程中字母系数中的应用
4.若关于x的方程122
12(1)(2)
m m
x x x x
+
+=
----
无解，求m的值.
第20讲 方程思想在解题中的应用
【知识点睛】
所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中已知量与未知量的数量关系转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决，用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便.
1.方程思想的最基本观点一一有几个未知数，列几个独立的方程；
2.方程思想解题的核心——构速方程，建立已知与未知的联系.
用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，建立已知与来知的联系，从而使问题得到解决. 【例题精讲】
例 已知：如图20-1所示，AB 比AC 长2cm ，BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，△ACD 的周长是14cm ，求AB 和AC 的长.
应用1 方程思想在求三角形边长中的应用 1.在△ABC 中，AB =AC ，△ABC 的周长为16cm ，AC 边上的中线BD 将△ABC 分成周长差为2cm 的两个三角形，求△ABC 的各边长.
应用2 方程思想在求对称点坐标字母值中的应用
2.已知点()2,1A a b +，()2,2B a b --. （1）若点A ，B 关于x 轴对称，求a ，b ； （2）若点A ，B 关于y 轴对称，求a b +； （3）若点A ，B 关于原点对称，求a b -.
应用3 方程思想在求等腰三角形的角的度数中的应用
3.如图所示，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =BE ，求∠A 的度数.
图20-1
E C
D
B
A （第3题）
B
D
A
C
应用4 方程思想在求等腰三角形角的关系中的应用
4.已知△ABC ，AB =AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD =AE ，设BAD α∠=，CDE β∠=.
（1）如图，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上
△如果△ABC =60°，△ADE =70°，那么α=_________°，β=_________°； △求α，β之间的关系式. （2）是否存在不同于以上△中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，请说明理由.
应用5 方程思想在求等边三角形中点的位置中的应用
5.如图，在等边△ABC 的三边AB ，BC ，CA 上分别有点D ，E ，F .若DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置.
应用6 方程思想在求线段长中的应用 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 交DC 的延长线于点F ，AE =4，AF =5，四边形ABCD 的周长为36.求AB ，BC 的长.
应用7 方程思想在求整式字母系数中的应
用 7.若a ，b ，k 均为整数且满足等式()()236x kx x a x b ++=++，写出两个符合
条件的k 的值.
应用8 方程思想在求分式中字母系数中的应用
8.已知
35(1)(2)12
x M N
x x x x -=++-+-，求
M ，N 的值.
（第4题）
C
E
D
B
A
（第5题）
B
E
F
A
C （第6题）
E C D
B
A。