•
上述四种关系可简化为孪晶轴和孪生方向的两种旋转对
称关系。这样，只要将基体的倒易阵点绕孪晶轴或孪生
方向旋转1800即可得到同名孪晶的倒易阵点，此为衍射 分析的基础。
3.2 二次旋转孪晶的指数变换公式
二次旋转孪晶基体与孪晶倒易矢量的对称关系如图所示。
符号规定： gM—指数为(hkl)M的基体倒易矢量
t t t * 1 * 2 * 3 * 1 * 2 * 3
hU kV lW h tU k tV l tW
如何求解 htktlt ？
（3-1）
•
由gM、gT和gA三个倒易矢量共面，有：
g M g T mg A * * * t * t * t * (h h )a1 (k k )a2 (l l )a3 mHa1 mKa2 mLa3
b.c.c.晶体中，孪晶系统为：{112}<111> Hcp晶体中，孪晶系统为：{1012}<1011>
2. 孪晶按对称操作分类 （1）反映孪晶 以孪晶面为镜面的反映对称 以垂直于孪生方向的晶面为镜面的反映对称
（2）旋转孪晶
以孪晶轴为轴的旋转对称
以孪生方向为轴的旋转对称
旋转角度有600、900、1200、1800，其中以1800最常见。
同理，可得到任意晶系二次旋转孪晶的晶向指数变换公式
2U (uH vK wL ) u UH VK WL 2V vt (uH vK wL ) v （3-5） UH VK WL 2W wt (uH vK wL ) w UH VK WL
3.1 孪晶的晶体几何特征及倒易点阵 3.1.1 孪晶的晶体几何特征 1. 孪晶的基本要素： 孪晶面和孪生方向是用以描述孪晶特性的特征晶面和特征 方向，合称孪晶系统，亦称为孪晶的基本要素。 f.c.c.、b.c.c.、hcp结构金属晶体中，孪晶比较常见
f.c.c.晶体中，孪晶系统为：{111}<112>
相应的倒易矢量之间也一定有对称关系
正点阵中基体和孪晶同名指数的晶向具有对称关系， 相应的倒易平面之间也一定有对称关系
孪晶晶体点阵所存在的四种对称关系可以用孪晶的倒易 矢量之间的关系来表达。见下图：
•
因为电子衍射图反映的是倒易点阵的某二维倒易截面， 所以，孪晶电子衍射图中衍射斑点的排列也反映孪晶的 上述四种关系。
（3-7）
[T ]晶面
H UVW 2 K L I H UVW K L
孪晶晶面指数变换矩阵
T晶向
U HKL 2 V W U HKL V W
© Si
孪晶斑点T1、T2；P处在孪晶马氏体周围高密度位错
本章内容
3.1 孪晶的晶体几何特征及倒易点阵
3.1.1 孪晶的晶体几何特征
3.1.2 孪晶倒易点阵的对称关系
3.2 二次旋转孪晶的指数变换公式 3.3 立方晶系孪晶电子衍射图的分析
3.3.1 立方晶系孪晶指数变换公式
3.3.2 面心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征 3.3.3 体心立方晶体孪晶倒易阵点的分布特征 3.3.4 立方晶体孪晶电子衍射图的标定
* * * g M ha1 ka2 la3
gT—指数为(hkl)T的孪晶倒易矢量， htktlt是其在基体倒易点阵中的指数
t * t * t * gT h a1 k a2 l a3
gA—孪晶面所对应的倒易矢量，其指数为[HKL]* * * * g A Ha1 Ka2 La3 rA—孪晶轴，其指数为[UVW]
孪晶的(311)倒易阵点与基体（113）倒易阵点重合。
（2）当hp + kq + lr = 3n 1 (n = 0, 1, 2, ….整数)时，(3-10)为
1 1 h t 2(n ) p h h (2n 1) p p 3 3 1 1 k t 2(n )q k k (2n 1)q q 3 3 1 1 l t 2(n )r l l (2n 1)r r 3 3
（3-6）
U HKL 2 V u u t W t v I v U w wt HKL V W
体心立方晶体孪晶的点阵对称关系 a) 以孪晶面为镜面的反映对称和以 孪生方向为轴的二次旋转对称
b) 以孪晶轴为轴的二次旋转对称和 以孪生方向垂直的晶面为镜面的 反映对称
3.1.2 孪晶倒易点阵的对称关系
晶体的正、倒点阵互为倒易，正点阵中存在的孪晶关 系，在相应的倒易点阵也一定存在孪晶关系。因此，有 正点阵中基体和孪晶同名指数的晶面具有对称关系，
h t m H h kt mK•
将式（3-2）代入（3-1），有：
2(hU kV lW ) m( HU KV LW )
m 2(hU kV lW ) HU KV LW
（3-3）
•
将上式代入（3-2），有：
得 hp + kq + lr = 5，即3n 1 = 5，n =2, 代入（3-14）
h t 4 3 1 1 1 1 t 2 1 3 2 1 1 7 k 4 1 l t 4 1 3 1 3 3 1 3 7
（3-11）
或
（3-12）
此时，孪晶的(hkl)T倒易阵点（或衍射斑点）与基体的某 一倒易阵点相重，其位置是从基体的(hkl)倒易阵点出发，
经过2n<111>的位移。
例1：在fcc结构中，若孪晶面为(111)，求孪晶(311)倒易阵 点在基体倒易点阵中的位置。
由 (pqr) = (111)，（hkl）= （311）
I
孪晶晶向指数变换矩阵
3.3 立方晶系孪晶电子衍射图的分析 3.3.1 立方晶系孪晶指数变换公式 在立方晶系中，孪晶的晶面指数（HKL）和孪晶面的法向
指数[UVW]的正空间点阵指数相同，因此，可以用pqr代替
HKL和UVW，则立方晶系孪晶指数变换公式为：
2p ( hp kq lr ) h p2 q2 r 2 2q kt 2 ( hp kq lr ) k p q2 r2 2r t l 2 ( hp kq lr ) l p q2 r 2 ht
rA Ua1 Va2 Wa3
下面的问题是: 建立hkt与htktlt之间的关系,并求 解 h tk tl t ？
•
由几何关系，有：
g M rA g T rA
(ha k a l a ) (U a1 V a 2 W a3 ) (h a k a l a ) (U a1 V a 2 W a3 )
孪晶倒易矢量的对称操作
3. Bcc晶体孪晶的几何对称特征
体心立方晶体孪晶的点阵对称关系
(a) 以孪晶面为镜面的反映对称和以孪生方向为轴的二次旋转对称 (b) 以孪晶轴为轴的二次旋转对称和以孪生方向垂直的晶面为镜面的反映对称
[001]
[112]
[110]
[010]
(112)
[100] [111] (110)
t
（3-10）
讨 论： （1）当hp + kq + lr = 3n (n = 0, 1, 2, ….整数)时，(3-10)为
h t 2np h t k 2nq k l t 2nr l
h t p h t q k k 2 n l t r l
2H (hU kV lW ) h HU KV LW 2 K kt (hU kV lW ) k HU KV LW 2L lt (hU kV lW ) l HU KV LW ht
（3-4）
该式适用于任意晶系二次旋转孪晶的晶面指数变换公式 可以求出与基体倒易阵点(hkl)M同名的孪晶倒易阵点 (hkl)T在基体倒易点阵中的坐标。 因为基体与孪晶互为孪晶，也适用于把基体倒易阵点指 数变换为孪晶点阵中的指数
（3-4）和（3-5）的矩阵形式为
H 2 K UVW t h h L t k I k H l l t UVW K L
（3-13）
或
（3-14）
由此可见，孪晶倒易阵点与基体倒易阵点不相重，孪晶 倒易阵点的位置是从基体某一倒易阵点出发，再作位移 2/3<111>或1/3<111>
例1：在fcc结构中，若孪晶面为(111)，求孪晶(311)T倒易 阵点在基体倒易点阵中的位置。
由 (pqr) = (111)，（hkl）= （311）
2H (hU kV lW ) h HU KV LW 2 K kt (hU kV lW ) k HU KV LW 2L lt (hU kV lW ) l HU KV LW ht
ut
（3-4）
第三章
孪晶的概念：
孪晶电子衍射花样的分析
结构相同的两部分晶体按一定的取向关系呈对称排列在一起。
按形成方式分为： 生长孪晶；形变孪晶
几种材料中的孪晶照片
照片1: (a) Ni, (b) 不锈钢，© Si 照片38：普通结构钢中的孪晶马氏体
(a) Ni
(b) 不锈钢
P孪晶中高密度位错
A、B、C为等倾条纹；S、Y等孪晶共格界面处，等倾条纹因s符号改变而改变 方向； T、P为非共格孪晶界，在P处显示近似垂直膜面的End-on位错列