2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1} 2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．f（x）＝lgx2与g（x）＝2lgxD．f（x）＝x0与4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）最小值为1B．f（x）的图象不具备对称性C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增D．对任意x∈R，均有f（x）≤16．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）A．[]B．[]C．[）D．[）7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或48．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．10．己知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则﹣x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（3，3+e]B．[3，3+e）C．（3，+∞）D．[3，3+e）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．已知集合，则列举法表示集合A＝，集合A的真子集有个．12．函数的定义域是，值域是．13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有个，其中函数的值域一共有种不同情况．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．16．若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为．17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围．三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g（x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝max{e f（x），e g（x）}的最小值．2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，又∵B＝{x|x＞1}，∴∁U B＝{x|x≤1}，则集合A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}故选：D．2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．f（x）＝lgx2与g（x）＝2lgxD．f（x）＝x0与【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝﹣x（x≤R），与g（x）＝x（x ≤0）的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数f（x）＝•＝（x≥1），与g（x）＝（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数f（x）＝lgx2＝2lg|x|（x≠0），与g（x）＝2lgx（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D，函数f（x）＝x0＝1（x≠0），与g（x）＝＝1（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝＝＝log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝．而log25＞log24＝2＞，∴＜．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．5．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）最小值为1B．f（x）的图象不具备对称性C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增D．对任意x∈R，均有f（x）≤1【解答】解：根据题意，对于函数，设t＝x2+4x+5，则y＝，t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，在区间（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）上为增函数，y＝在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，则当x＝﹣2时，f（x）取得最大值f（﹣2）＝1，故A、C错误，D正确；t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1为二次函数，其图象关于直线x＝﹣2对称，则的图象关于直线x＝﹣2对称，B错误；故选：D．6．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）A．[]B．[]C．[）D．[）【解答】解：先保证对数有意义﹣x2+4x+5＞0，解得﹣1＜x＜5，又可得二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴为x＝﹣＝2，由复合函数单调性可得函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）的单调递增区间为（2，5），要使函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，只需，解关于m的不等式组得≤m＜2，故选：C．7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或4【解答】解：令t＝f（x），y＝f[f（x）]＝f（t）＝2t2﹣t+a．函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，即方程2x2﹣x+a＝0有根，若方程2x2﹣x+a＝0有1个零点，则△＝1﹣8a＝0，即a＝．而方程2t2﹣t+a＝0化为，即（4t﹣1）2＝0，t＝，此时函数y＝f[f（x）]有2个零点；若方程2x2﹣x+a＝0有2个零点，则△＝1﹣8a＞0，得a＜．此时方程2t2﹣t+a＝0的根为t＝，而小根＞在a＜时成立，∴函数y＝f[f（x）]有4个零点．综上，函数y＝f[f（x）]零点的个数是2或4．故选：C．8．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x，f“（x）＝e x+e﹣x≥2，f（x）递增，无最小值，无最大值，g（x）＝e x+e﹣x≥2，当x＞0时，g'（x）＝e x﹣e﹣x＝≥0，g（x）递增，g（x）为偶函数，所以g（x）在（﹣∞，0）递减，所以（0，+∞）上递增，所以g（x）min＝g（0）＝2，无最大，故选：D．9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）＝x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）＝﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）＝﹣x+≥2＝2，当x＞0时，且a＜0时，f （x）＝x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．10．己知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则﹣x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（3，3+e]B．[3，3+e）C．（3，+∞）D．[3，3+e）【解答】解：函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，即两函数y＝f（x）与y＝a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1＜a≤e，x1，x2是方程的两根，即x2+2x+1﹣lna＝0的两根，∴x1x2＝1﹣lna，x3，x4是方程x+﹣3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，∴﹣x1x2+x3+x4＝2+a+lna．∵g（a）＝2+a+lna在（1，e]上为单调增函数，∴g（a）∈（3，e+3]．故选：A．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．已知集合，则列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A 的真子集有15个．【解答】解：∵集合，∴列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A的真子集有24﹣1＝15个．故答案为：{0，1，3，9}，15．12．函数的定义域是[﹣1，7]，值域是[0，4]．【解答】解：7+6x﹣x2≥0，解得x∈[﹣1，7]，t＝﹣（x﹣3）2+16，t∈[0，16]，y＝∈[0，4]，故答案为：[﹣1，7]，[0，4]13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝﹣2或4．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）＝|﹣2|＝2，f（f（﹣2））＝f（2）＝；∵f（a）＝2，∴当a≤0时，f（a）＝|a|＝2，解得a＝﹣2；当a＞0时，f（a）＝＝2，解得a＝4．综上，实数a的值为﹣2或4．故答案为：，﹣2或4．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有27个，其中函数的值域一共有7种不同情况．【解答】解：因为函数的对应可以是“一对一”，也可以是“多对一”，所以：①当函数值为一个数时，函数共有3个，函数的值域有3种情况，②当函数值为两个数时，函数共有＝18个，函数的值域有3种情况，③当函数值为三个数时，函数共有A＝6个，函数的值域有1种情况，故这样的函数一共有3+18+6＝27个，函数的值域一共有7种情况，故答案为：27；7．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为2＜a ≤4．【解答】解：根据题意函数是R上的单调减函数，2﹣a＜0，a≤4，且2﹣a+3a≥4，即a＞2，a≤4，a≥1，故2＜a≤4，故答案为：2＜a≤4．16．若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|，即为|ax﹣﹣1|≥2恒成立，可得a（x﹣）≥3或a（x﹣）≤﹣1，由|x|且x≠0可得y＝x﹣的值域为（﹣∞，﹣]∪[，+∞），由于a＝0不等式不成立，当a＞0，0＜x≤时，a∈∅或a（x﹣）≤﹣a，即﹣1≥﹣a，则a≥；当a＞0，﹣≤x＜0时，a（x﹣）≥a或a∈∅，即3≤a，则a≥2，综上可得a≥2；同理可得a＜0时，|ax﹣﹣1|≥2恒成立，可得a≤﹣2，故所求a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围（﹣，﹣]∪[，）．．【解答】解：∵x2﹣1＞0，x∈Z，∴A＝{x|x＞1或x＜﹣1，x∈Z}，∵B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，设方程x2﹣2tx﹣1＝0的两根为m，n，不妨设m＜n，则m+n＝2t，mn＝﹣1；∴m，n一正一负，且互为负倒数；且B＝{x|m≤x≤n}∵A∩B＝{x1，x2}，令f（x）＝x2﹣2tx﹣1，则有2种情况：①，当A∩B＝{2，3}时，即﹣1＜m＜0，3≤n＜4，则，得，解得，≤t＜；②当A∩B＝{﹣2，﹣3}时，即﹣4＜m≤﹣3，0＜n＜1，则，得，解得，﹣＜t≤﹣；综上述：t的取值范围是（﹣，﹣]∪[，）．故答案为：（﹣，﹣]∪[，）．三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝﹣1+﹣+＝﹣1+100﹣+24＝﹣1+100﹣+16＝115．（2）＝lg（×）+＝lg10+＝+1＝．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为4∈A，所以2a≤4≤a2+1，解得a≤﹣或≤a≤2．又3∉A，所以2a＞3或a2+1＜3，故﹣＜a＜或a＞．∴若4∈A，3∉A，有≤a≤2；故a的取值范围是：[，2]．（2）B＝{x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，当3a+1＝2，即a＝时，B＝{2}，不合题意．当3a+1＜2，即a＜时，B＝{x|3a+1≤x≤2}，所以，∴，解得a＝﹣1．当3a+1＞2，即a＞时，B＝{x|2≤x≤3a+1}，所以，∴，解得1≤a≤3．综上知，a＝﹣1或1≤a≤3．故实数a的取值范围是{a|a＝﹣1或1≤a≤3}．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设﹣1＜x≤0，则0≤﹣x＜1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+1＝﹣x2+1，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝﹣x2+1，（﹣1＜x＜≤0），设x≤﹣1，则﹣x≥1，∴f（﹣x）＝2﹣2﹣x，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝2﹣2﹣x，（x≤﹣1），∴当x＜0时，f（x）的解析式为；（2）易知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为减函数，∴f（2﹣x）≤f（x+m）⇔f（|2﹣x|）≤f（|x+m|）⇔|2﹣x|≥|x+m|，∴（2m+4）x≤4﹣m2对任意x∈[m﹣1，m]恒成立，当2m+4≥0，即m≥﹣2时，只需（2m+4）m≤4﹣m2，解得，故此时；当2m+4＜0，即m＜﹣2时，只需（2m+4）（m﹣1）≤4﹣m2，解得，此时无解．综上，实数m的取值范围为．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g（x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）当a＝5，b＝﹣3时，，令，则（3x）2﹣4•3x﹣5＝0，解得3x＝5或3x＝﹣1（舍），∴x＝log35；（2）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴a＝﹣1，b＝1，∴，∴＝3x+3﹣x﹣1，∴不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10即为32x+3﹣2x﹣1≥m（3x+3﹣x﹣1）﹣10，亦即（3x+3﹣x）2﹣m（3x+3﹣x）+7﹣m≥0对任意x∈R且x≠0恒成立，令t＝3x+3﹣x＞2，则t2﹣mt+7﹣m≥0对任意t∈（2，+∞）都成立，亦即对任意t∈（2，+∞）都成立，令，则m≤h（t）min，又，由双勾函数可知，h（t）在（2，+∞）为增函数，∴，∴，∴m的最大值为．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝max{e f（x），e g（x）}的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则φ（x）＝e|x﹣3|+e|x﹣2|+1，由于x∈[2，3]，即|x﹣3|＝3﹣x，|x﹣2|+1＝x﹣2+1＝x﹣1，∴φ（x）＝e3﹣x+e x﹣1＝+≥2＝2e，当且仅当＝时，即x＝2时φ（x）有最小值2e．（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|，故只需|a﹣1|≤1，解得0≤a≤2，故a的取值范围为[0，2]．（3）h（x）＝max{e f（x），e g（x）}＝e max{f（x），g（x）}＝e max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}，接下来讨论max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}在[1，6]上的最小值，情形一：2a﹣1≤a≤1，即a≤1时，x∈[1，6]，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}，①当a≤0时，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣2a+1≥2﹣2a，②当0＜a≤1时，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣a+1≥2﹣a，情形二：1＜a＜2a﹣1＜6，即时，③当1＜a≤2时，（i）当1＜x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2≤0，（ii）当a＜x≤2a﹣1时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜3a﹣2﹣2a＜0，（iii）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝|x﹣a|+1≥1，④当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（ii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（iii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，（ⅳ）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；情形三：当1＜a＜6≤2a﹣1，即时，⑤当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（ii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（iii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；⑥当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（ii）当a＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝2a﹣7；情形四：当a≥6时，（i）当1≤x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝2a﹣7；综上，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝，∴．。