18
5.2 色数多项式
[加边法] 求给定图G的色数多项式 原理：由[定理5-2-1]， PG(k) = P1(k) + P2(k) o P(k)1 和 P2(k) 对应图 G ij 和 G ij 。 ① 在图G中任取两个不相邻顶点u, v； ② 在图G中加上 (u,v)，得新图G1， 在图G中收缩 (u,v)，得新图G2，由上述讨论有 PG(k) = PG1(k) + PG2(k) ③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为完全图。 ④ 利用n阶完全图的 P(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 构造 图G的色数多项式。
v5
v2
v
v3 v4
v1
v5
v2
v
v3 v4
11
5.1 色数
[例 ] i j G
颜色，那么
i
ij
G ij
j
G ij
o
对于两个不相邻结点i,j, 如果G 的最小着色方案使得i,j着不同
(G) (Gij )
如果G 的最小着色方案使得i,j着相同颜色，那么
(G) (Gij )
12
(G) , 即G是 -可着色的。 定理给出了色数的一个上限，但很不精确。Brooks定理也
说明只存在两类满足(G) =+1的图。
[例] 二部图可2着色，但是可以相当大。
9
5.1 色数
[Hajó s猜想] 若G是n色图，则G包含Kn的一个同胚图。 n=1,2显然，n=3,4已证，其他未决 。
避免一个学生在同一天参加两
个考试，试问最少需要安排几 天进行期末考试？例如，用矩 阵表示,(a , b)=1表示有学生同 时参加a和b考试。
3
第五章 图的着色
a 0 1 0 1 b 0 1 1 c 0 1 d 0 e f a b c d 0 1 0 1 0 e 1 0 1 1 1 0 f
number ?
/wiki/Edge_colouring
24
5.3 边着色
[课程表]假设有４位老师给５个班上课，如何将这些
课程安排在最少的时段内？
c1 c2 c3 c4 c1 c2 c3 c4
t1 t2 t3 t4
t1 t2 t3 t4
c5
c5
25
本章内容要求
a f b c d
e
[解]以该矩阵为邻接矩阵构造图如上所示。给图的顶
点染色使得相邻点具有不同颜色，最少需要3种颜 色。
4
5.1 色数
[着色] 图 G=(V,E) 的一个k顶点着色(k colouring)指用
k种颜色对G的各顶点的一种分配方案, 使得相邻 顶点的颜色都不同. 此时称G存在一个k着色，或 者称G为k-可着色的(k-colourable)。 [色数] 使 G=(V,E) k-可着色的最小k值称为G的色数 （chromatic number），记为 (G)（或(G)）。 若 (G)=k，称G为k色图(k-chromatic)。

5.1 色数
[定理] G=(V,E) 为简单图，vi, vj 为其中不相邻顶点。
o
G ij 为在G中添加边(vi, vj) 得到的图， G ij为在G中合 并vi, vj ，其他顶点与其关系不变，并合并多重边
（称为收缩 vi, vj ）得到的图。则有：
(G)=min(( G ij ), ( G ij ))
练习
1. 设G是n阶m条边的简单平面图,n=7,m=15,证明G的所有面
次数为3。
2. 证明正多面体有且仅有5种。
a 0 1 0 1 0 1 1 3. 假设要安排6个期末考试，要避 b 0 1 免一个学生在同一天参加两个 c 0 考试，试问最少需要安排几天 d 进行期末考试？右图矩阵表示： e (a , b)=1表示有学生同时参加a f 和b考试。 a b c d
• 图的着色和意义，色数概念；
•
•
特殊图的色数，图的色数求法；
理解图的色数特点，如上界，Brooks定理，
五色定理等；
• 色数多项式特点及求法。
26
Exercises
Develop a traffic light pattern so that traffic will flow smoothly at the cross.
着色的，则称G的边色数是k, 记作’(G).
例 右图的边色数是４。
显然，’(G)(G)
23
5.3 边着色
[定理](Kö nig)任何二部图G的边色数为(G).
[定理](Vizing)如果G是简单图，则’(G)=,或者
’(G)=+1.
Open problem: which graphs have edge-chromatic
[推论1] 对任何图G=(V,E)，n=|V|，m=|E|，PG(k)
都是k的整系数n次多项式，且：① 首项为kn；
② 次项为-mkn-1； ③ 常数项为0； ④各项系数 的符号正-负交替。 [证明] [留作 习题] [推论1]证明了函数PG(k) 具有多项式形式。 [色数多项式] 上述函数 PG(k)称为图G的色数多项 式。
5
5.1 色数
[例 ]
6
5.1 色数
[例 ]
7
5.1 色数
特殊图的色数 ① 零图： (G)=1 ② 完全图Kn： (G)=n ③ G是一条回路： (G)=2 若|V|是偶数
(G)=3 若|V|是奇数
④ G是一棵非平凡树： (G)=2 ⑤ (G)=2的充要条件是: (a) |E|1；(b) G中不存 在边数为奇数的回路。（此时G为二部图） ⑥ 若G1、G2为G的两个连通分支，则 (G)=max{(G1), (G2)} 8
o
[证明]
13
5.1 色数
[例] 如图， 求 (G)。
G ij
G ij
o
G ij
G ij
o
(K5)=5
(K4)=4
(K4)=4
(K3)=3
14
5.2 色数多项式
[定义] 对给定的图 G=(V,E) ， PG(k)表示以k种颜色给G进行正 常着色的方案数目。 两种方案相同：同一个结点着同一种颜色。 例如，PK3(3)=6
5.1 色数
[定理] 对G=(V,E)， =max{deg(vi)|viV}，则 (G) +1。 [证明] 对于结点数使用归纳法，证明G是(+1) -可着色的。 [定理] (Brooks)设G=(V,E) 是简单连通图，但不是完全图，不
是奇数长度圈， =max{deg(vi)|viV}3，则
19
5.2 色数多项式
[例] 如图，求其色数多项式。
加边法比较适合于求稠密图的色数多项式。
20
5.2 色数多项式
[减边法] 求给定图G的色数多项式
PG (k ) PG (k ) P (k )
ij
Gij
① 在图G中任取一边e；
② 在图G中去掉e，得新图G1
在图G中收缩e的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k) ③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用n阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。 21
5.2 色数多项式
[例] 如图，求其色数多项式。
减边法比较适合于求稀疏图的色数多项式。 证明n个结点的树的色数多项式是k(k-1)n-1.
22
5.3 边着色
[边着色] 图 G=(V,E) 的一个边着色(edge colouring)指用k种颜 色对G的各边着色, 使得相邻边的颜色都不同. 此时称G存 在一个k-边着色，或者称G为k-边可着色的(k-edge colourable)。如果Ｇ是k-边可着色的，而不是(k-1)-边可
a
a
a
b
a b
c
b
a
cbac来自cbc
b
c
15
5.2 色数多项式
当 k< (G)时, 不可能进行正常着色, 此时PG(k)=0。
当 k (G)时， PG(k)>0。
4色猜想：对平面图G, PG(4)>0（存在4-着色方案）
若干特殊图的 PG(k)
1) 零图： G=(V,E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在K种颜色中任取，非根节点选取与其父亲
[四色猜想] 任何平面图都是 4-可着色的。 由于存在着不可3-着色的平面图K4，4色问题若可证明，将 是平面图色数问题的最佳结果。 [五色定理] 任何简单平面图都是 5-可着色的。 [证明]（1890，Heawood）
10
五色定理证明
v1
对结点数n归纳。假定<n个结 点的平面图可5着色。当G 有n个结点时，必有一个结 点v其度数<6. 不妨设 dev(v)=5, 其邻接点是 v1,…,v5. 至少有两个结点 不相邻，否则G包含K5, 是 非平面图。设v1,v3不相邻， 将v1,v3”拉至v”与v合并， 其结点数<n, 故可5 着色。 现在将v1,v3”从中拉出”， v1,v3着色不变，此时 v1,v2,…,v5着4种颜色，故 v可着第五种颜色。
节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1
3) n阶完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1)
16
5.2 色数多项式
G ij 和 G ij 分别如前所述，则 [定理5-2-1] 设简单图G，
o
PG (k ) PG (k ) P (k )
ij
Gij
[证明]
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5.2 色数多项式
0 1 0 1 0 e
1 0 1 1 1 0 f