W dV 1 1）波函数具有有限性 V

W

dV 1

因为粒子在全空间出现是必然事件
二、Schrö ding方程 适用条件 v<<c，低速微观粒子
E Ek E p
1. 自由粒子的Schrö ding方程 设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动
U ( x . y.z ) ( x . y.z )](15)
i f ( t ) 1 2 2 2 2 [ ( 2 2 2 ) ( x . y.z ) f ( t ) t ( x . y.z ) 2m x y z
E
U ( x . y.z ) ( x . y.z )](15)
( x. y.z ) ( x. y.z )e
i Et
2 ( rt ) ( x . y . z )e
2 i Et
( x . y .z )
2
三. 薛定谔方程应用举例 1. 一维无限深势阱
0 U ( x)
0 xa x0, xa
2. 定态S.eq方程
2 2
若为三维粒子，薛定谔方程为：
i ( 2 2 2 ) U ( x . y.z .t ) t 2m x y z
2 2 2 2
· · · （ 12 ） 引入拉普拉斯算符 定态，势函数不显含时间，其概 2 2 2 2 x y z 率分布也不随时间变化。 三维含时薛定谔方程：
可通过解定态薛定 格方程求解 定态Schrö dinger方程：
2
U
e
2
4 0 r
M rn + m M>>m
2m e 2 (E ) 0 4 0 r
2
用球坐标：
用球坐标表示的定态Schrö dinger方程：
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin
2 2 x 2
p (5) 2 2m x 2m
2 2 2 x
自由粒子非相对论条件下总 动能： p2
2m p (3) （4）、（5）式比较： 2 x 2 2 i (6) (2)式 i 2 t 2m x i E (4) 自由粒子一维含时薛定谔方程 t
U 粒子的观点 极大值 较多电子到达
波动的观点
2 0 2
波强度大， 或 大 2 2 极小值 较少电子到达 波强度小， 0 或 小 2 2 统一地看：粒子出现的概率正比于 0 或 介于二者之间 波强介于二者之间 中间值
2）一个粒子多次重复性行为
U
较长时间以后 波动的观点 粒子的观点 2 2 0 或 大 到达概率大 波强度大，
2
h h p mv
1.226 或： 1 . 226 nm nm U Ek
适用于：电子波且EK << E情形
二.不确定关系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
德国物理学家海森堡提出：
x px h
E t h L h
即：位置测得越准，动量测得越不准！ 电子处于某能态上的寿命越短，能级宽度越大
2m 2 ( E U ) 0
2
3. 解定态S.eq方程
一维无限深势井
U {
0
(0 x a )
( x 0, x a )
2 n 波函数： n ( x ) sin x a a 2 h 2 本征能量： E n ( x ) n 2 8ma 2 2 n 概率密度： n ( x ) sin ( x) a a
(b) 概率：
dW dV dxdydz
*
2
表示t 时刻粒子在体积元 dV内出现的概率
2）波函数所描述的是处于相同条件下，大量粒 微观粒子遵循的是统计规
子的一次性行为和一个粒子多次重复性行为。 律，而不是经典的决定性规律。
牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子 的轨迹是已知的 量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一 定到达某点，只给出到达各点的统计分布； 即只知道||2大的地方粒子出现的可能性大， ||2小的地方出现的几率小。一个粒子下一时 刻出现在什么地方，走什么路径是未知的
由（4）式：
2 2
将（5）式看成一般情况下的特例：
i U ( x .t ) (10) 势场中的一维含 2 2m x t 时薛定谔方程 2 2 i U ( x .t ) (11) 2 t 2m x
势场中的一维含 i U ( x .t ) (11) 2 时薛定谔方程 t 2m x
E h
h 恒定！ p
X 恒定！ 单色平面波!
从不确定关系来研究： p const p 0 x 沿整个X轴传播
E const
E 0
t
波列长为长
结论：自由粒子的De Brö glie波是单色平面波 其波函数为：
E x 0 cos 2 (t ) 0 cos 2 ( t ) h h/ p
一维无限深势井
En n
n ( x)
h 2 En ( x ) n 2 8ma
2 n n ( x) sin x a a
2
2 2 n n ( x ) sin ( x) a a
0
a
x
复习： 19-3
作业：
练习二十七 1,2,3,5,6
19.4 氢原子 多电子原子中电子的分布
2m 2 ( E U ) 0 (21) ( x . y.z ) 若定态薛定谔方程已解出为： 则粒子的波函数：
2
注意：1）定态波函数为一空间坐标函数 (r ) 与一时间函数 f (t ) 的乘积。
2）对于定态，除能量E有确定值外，其概 率分布也不随时间变化。
2 2 2 2
2 2 2 2 ( 2 2 2 ) ( x. y.z ) U ( x. y.z.t ) ( x. y.z ) 2m x y z
U ( x. y.z.t ) ( x. y.z )] E (18)
E ( x . y . z ) ( 19 ) 定态薛定谔方程 2 2 ( x. y.z ) U ( x. y.z ) E ( x. y.z ) (20) 2m ( x. y.z ) 2m 整 2 2 ( E U ) 0 (21) U U ( x. y.z ) 理
§19-3 波函数
1. 自由粒子的波函数
Schrö dinger 方程
一、波函数：描述粒子波动性的运动函数。
设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直 线运动（设沿X轴），其动量、能量保持恒定。
p const E const E h 恒定！ 恒定！ p h
X
1. 自由粒子的波函数
第19章 原子的量子理论
19.1 玻尔的氢原子理论
19.2 物质波及不确定关系
19.3 波函数 薛定谔方程
19.4 氢原子 多电子原子中电子的分布
*19.5 激光 *19.6 半导体 *19.7 原子核和基本粒子简介
19.2 物质波及不确定关系 一.物质波：
E mc , h h
电子的德布罗意波长
i f (t ) 1 [ ( 2 2 2 ) ( x. y.z ) f (t ) t ( x. y.z ) 2m x y z E U ( x . y.z ) ( x . y.z )](15) 2 2 2 2 1 [ ( 2 2 2 ) ( x. y.z ) ( x. y.z ) 2m x y z
当粒子沿着
i ( px Et )
Y r Z
方向传播时： r
P X
0e
式中：
i ( p r Et )
三维自由粒子的波函数
r xi yj zk
p px i p y j pz k
注意：波函数常用复数表示
2、波函数的统计铨释（波恩Born） 实验现象： 1）大量电子的一次性行为：
结论：1）某时刻(t)在空间某点(r)处粒子出现的 概率正比于该时刻、该地点波函数模的平方
dW dV dxdydz
2 0 *
2
2
2）波函数所描述的是处于相同条件下，大量 粒子的一次性行为和一个粒子多次重复性 行为。 3）波函数所代表的波是概率波 微观粒子出现在||2大的地方，||2小的 地方粒子出现少；即波函数按波的形式 去分配粒子出现的概率。
等式左边是t的函数，右边是坐标的函数，但两边 又相等，故等式左右两边均应与x、y、z、t无关， 现记为E。则： i f ( t ) E (16) f ( t ) t 其解：
f (t ) e
i Et
(17)
指数应是无量纲的数， 的单位是“焦尔秒”， 故E的单位只能是能量，实际上是粒子总能量E。
( x . y.z ) f ( t )(14)
（14）式代入方程
U U ( x . y.z )
i f ( t ) 1 2 2 2 2 [ ( 2 2 2 ) ( x . y.z ) f ( t ) t ( x . y.z ) 2m x y z
3、波函数的标准化条件
( r , t ) 在空间是有限函数 2）波函数是连续的 即在r 处的几率密度 ( r )与r dr 处 几率密度 ( r dr )只差一微量 3）波函数是单值的 粒子在空间出现的概率只可能单一 4）满足归一化条件 （Narmulisation）
E Ek
x