第二章
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
测量平差概述
在测量工作中，并不是对模型中的所有量都进 行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个， 当观测值个数小于必要观测个数，即n<t, 无法 确定模型的解；如果观测值个数恰好等于必要 观测个数，即n=t,则可唯一地确定该模型，但 对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现。 为了能及时发现测量中的粗差和错误，提高观 测成果的精度和可靠性，通常使观测值个数大 于 必 要 观 测 个 数 ， 即 使 n>t， 设 ： r=n-t 式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r 称为多余观测个数，在统计学中也叫自由度。
测量平差概述
有了多余观测，观测值之间必然不能满足理论上的条件 方程，即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻 合于几何模型。
为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值（又 叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值。
任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测值， 是由观测值加上改正数而得到，观测值的改正数，它们 必须在计算之前被计算出来。但这种改正数有无数多组 （如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角度讲， 只有一组改正数能得到最优解。为求唯一的一组最优改 正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则 求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。
§2-2 测量平差的数学模型
在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些 几何量的大小等有关数量问题，因此，常考虑 如何建立相应的数学模型及如何解算这些模型。 由于测量观测值是一种随机变量，所以，平差 的数学模型与传统数学上的模型不同，它不仅 要考虑描述已知量与待求量之间的函数模型， 还要考虑随机模型，在研究任何平差方法时， 函数模型和随机模型必须同时予以考虑。
选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一 个观测量表达成所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的 函数模型的平差方法称为间接平差。
3. 间接平差法(参数平差法)
一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n，
必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增
选u个独立参数， u=t，则总共应列出c=r+u=n
个函数关系式，其一般形式为
L~ F (X~)
n1
如果这种表达式为线性的，一般为
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
将 L~ L 代入上式，并令 l L d
则
B X~ l
n1
nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
4. 附有限制条件的间接平差
如果在某平差问题中，选取u>t个参数， 其中包含t个独立参数，则多选的s=u- t 个参数必定是t个独立参数的函数，即在u 个参数之间存在着s个函数关系式。方程 的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时， 除了列立n个观测方程外，还要增加参数 之间满足的s个条件方程，以此作为平差 函数模型的平差方法称为附有条件的间 接平差。
2. 附有参数的条件平差法
一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n， 必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增 选u个独立参数，0 <u<t，则总共应列出c=r+u 个条件方程，其一般形式为
F (L~, X~) 0
c1
如果条件方程是线性的，其形式为
A L~ B X~
cn n1 cu u1
A0
c1
0
将 L~ L 代入上式，并令 W (AL A0 )
则得
A B X~ W 0
cn n1 cu u1 c1
上式为附有参数的条件平差的函数模型。
3. 间接平差法(参数平差法)
一个几何模型可以由t个独立的必要观测量唯一 的确定下来，因此，平差时若把这t个量都选作 参数，即u=t（这是独立参数的上限），那么通 过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型， 换句话说，模型中的所有量都一定是这t个独立 参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t 个独立参数的函数。
函数模型
1. 条件平差法 2. 附有参数的条件平差法 3. 间接平差法(参数平差法) 4. 附有限制条件的间接平差 5. 附有条件的条件平差（综合平差模型）
1. 条件平差法
一般而言，如果有n个观测值，必要观测个数为t， 则应列出r=n-t个条件方程，即
F (L~) 0
如果条件方程为线性形式，则可以直接写为