t 2*5 4 6 r 11 6 5 k 1
条件观测平差
角度条件 （1）图形条件
n边形的内角估值之和应 满足(n 2) 180
v
i
w图 0
w图 i (n 2) 180
条件观测平差
角度条件 （2）水平闭合（圆周）条件 若在某点上观测了按相邻两个方向组成的全部角，则可 组成水平闭合条件。 A C D
§5-4 间接平差算法与算例
间接平差的函数模型和随机模型是:
误差方程为:
ˆ L V BX ˆ d L 2 1 D 2Q 0 P
V Bx ˆ l
T T
l L BX 0 d


ˆ B Pl 0 B PBx 法方程为: 参数的改正数解为： 1 T T 1 ˆ B PB B PBl N bb x W
条件平差的概念与平差模型：
条件平差法是在满足r个条件方程要求下， 根据最小二乘原理VTPV=min，按求函数的 条件极值的方法，求出观测量的改正数V， 进而求出观测的最或然值（平差值）。
条件方程个数等于多余观测数r＝n-t，n为 观测值总数，t为要观测数。
ˆ L V L
建立条件方程：
a11V1 a12V2 a1nVn W1 0 a21V1 a22V2 a2 nVn W2 0 ar1V1 ar 2V2 arnVn Wr 0
h5
B h8
h4
C
条件观测平差 二）测角网：
p 网点数 t 2 p 4 q q 多余的独立起算数据 C r nt
4个必要的起算数据为： 一个已知点（2个坐标） 一个方位（1个） 一个尺度（1个 两已知点（4个坐标）
列条件的原则： 条件观测平差 将复杂图形分解成典型图形。
n2=4
2 h3=+4.256m n3=12
3
§6-2 条件方程
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形 式简单，易于列立
一）水准网：t=p 或t=p-1 独立闭合环、附合水准路线 ----包含的线路数最少为原则
条件观测平差
A
h1
C E
h6
h2
h5
h3
检核平差值满足条件方程
ˆ h ˆ 12.5257 HD H A h m 1 4
例：一条闭合水准路线，已知A点的高程为16.330m, 水准路线上有三个固定点1， 2， 3，高差与测站数如图示, 采用条件平差求各点高程的平差值。
h1=+1.596m n1=3
A
1 h2=-0.231m
h4=-5.642m n4=6
例：图中, A, B为已知水准点，其高程 为：H A 12 .013 m, H B 10 .013 m。 为了确定 C , D点的高程，观测了四段 高差 高差观测值与水准路线 的距离如下：
h1 1.004 m, S1 2km, h2 1.516 m, S 2 1km h3 2.512 m, S 3 2km, h4 1.520 m, S1 1.5km 求C和D点高程的平差值。
F
列条件的原则：将复杂图形分解成典型图形。
类型：图形条件、圆周条件 、极条件、固定方位 条件、固定边长条件、固定坐标条件
三角形
t 2*3 4 2 r 3 2 1
大地四边形
中心多边形
扇形
t 2*4 4 4 r 84 4
t 2 * 7 4 10 r 18 10 8 k 2
h7
F
B
D
条件观测平差
A h6 h7 h1 h3 h2 D O
t 5 1 4 C r n t 84 4
h 6 h5 h 7 0 h1 h 3 h 6 0 h 3 h 2 h 4 0 h 4 h8 h 5 0
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
A
h1
h4
C
D
h2
h3
B
解: n=4,t=2,r=2 列两个条件方程式：
ˆ h ˆ h ˆ H 0 HA h 1 2 3 B ˆ h ˆ 0 h
2 4
v1 v 0 1 1 1 0 2 0 1 0 1 v 4 0 3 v4
B
ˆ 1.0047 h 1 ˆ h2 1.5174 ˆ L L V ( m) ˆ h3 2.5127 h ˆ 1 . 5174 4
ˆ 11.0083 HC H A h m 1
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
N aa
2 0 P 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 2 0 0 1.5
2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 5 1 1 T AP A 0 1 0 1 2 1 0 1 2.5 1.5 0 1
ˆ L V L i i i
L1
N aa
1 AQAT 1 1 11 3 1
1 K Naa W 3
检核
4201217 ˆ L V 780 0906 L 590 3837
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
r ,1
r .nn.1 T r .1
r ,1
V PV min
根据最小二乘原理，按求函数极值的拉格朗日乘 数法，设其乘数为 k=(k1,k2,…,kr)T，称为联系数 向量，组成函数
V T PV 2K T ( AV W )
将Ф对V求一阶导数，并令其为零，得
d 2V T p 2 K T A 0 dV
2 0
T 1 Qˆˆ F T QX F N ˆX ˆ bb F
第六章
条件平差
§6-1 条件平差原理
一、引例：按条件平差法求观测内角的平差值。
L1=42°12´20"
L2=78°09´09
L3=59°38´40
" "
L2
条件观测平差
L3
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3


间接平差的最小二乘解为:
0 ˆ ˆ ˆ L L V, X X x
精度评定：
单位权中误差：
V T PV V T PV ˆ0 r nt
ˆ 平差参数 的协方差阵 : X
函数的方差：
D Q ( B PB)
2 2 T ˆX ˆ X 0 ˆX ˆ X 0
1
Dˆˆ Qˆˆ
两边转置：PV=ATK， 得改正数V的计算公式为 V=P-1ATK=QATK 改正数方程 条件平差的基础方程： AV W 0
r .nn.1 r .1 r ,1
V Q AT K
n ,1
n , n n , r r ,1
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
G
h4
t 7 1 3 3 C r nt 73 4
h1 h 2 h3 ( H C H A ) 0 h1 h6 h7 ( H B H A ) 0 h7 h5 h 4 ( H D H B ) 0 h 2 h5 h6 0
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
W1 V1 W2 V2 W , V W V r r
a10 a20 A0 a ro
ˆ A 0 A L 有： → 0 AV W 0 r , n n ,1 r ,1
引例2：按间接平差法求观测内角的平差值。
L1=42°12´20"
L2=78°09´09
L3=59°38´40
" "
几个概念：
t个必要观测元素间不存在函数关系；
当存在多余观测，且n个观测值中包含t 个必要观测元素时，观测值间可建立函 数关系。 一个几何模型中有r个多余观测，则在n个 观测值间可产生r个条件方程。
W1 a 11L1 a 12 L 2 a 1n L n a 10 W2 a 21L1 a 22 L 2 a 2n L n a 20 Wr a r1L1 a r2 L 2 a rn L n a r0
3 V QAT K 3 3
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3
二、条件平差原理
对某一平差问题，有n个观测量L，t个必要观测 值，多余观测量为r。 在Li间建立 r 个平差值线性条件方程：