dt

• 其中pt为电子的动量，τ为相邻两次碰撞之间的电
子自由运动时间（弛豫时间），f t为电子所受的
外力。请在线性响应的范围内，推导金属在频率
为ω的电磁波作用下的电导率。在此基础上，可
尝试导出金属的介电函数。
• 解：设频率为ω的电磁波中 E E0eit
B B0eit
• 金属在电磁波作用下的运动方程
• 电子热容系数 2.08mJ mol1 K 2
• 电子热质量
mt*h
m 观测值 自由电子气
m
2.08
2.08பைடு நூலகம்
2RkB 2 3 2n 2
3
m

2

3
2
2 a3
2

3
2RkB

2.08
1.05 1034
2


ai bj 2ij
则相应的倒格子基矢为：
基本无问题，少数同学没写 出基矢的表达式，没注意单 位化为cm-1
b1

2 a
i
108 i
cm1
b2

2 b
i
2
108 i
cm1
倒格子和第一布里渊区如图示：红色区域为第一布里渊区
b2
b1 108 cm1
dp t p t eE ev B
dt

• 忽略磁场项作用（ eE ev B ），运动方程写为：
dp t p t
eE
dt


dv dt

v



e m
E0eit
• 解方程得
t
v Ce
e E0eit
1
m 1 i
• 第一项随时间的增加迅速衰减，稳定时为零。 v e E0eit 1 m 1 i
电导率

j E

env E

ne2
m
1
1 i


0

1 i
1 2
无问题
• 极化电流 j P iP
t
极化率 P i 0E 0
5. 试定性解释, 霍耳系数RH 为什么与电子浓度成反 比。
解：霍尔效应是定向载流子在磁场中受洛伦兹力作用形成电
场的效应，霍尔系数表征的是在一定载流子形成的电流下，
在一定的外加磁场下产生的电场大小。载流子形成的电流可 以表示为
大部分同学没有强调电流 和浓度的正比关系，只是 从这个公式说了一下
������������
注意：大部分同学只是强调电子比热， 没有说明声子比热的影响。
3. （a）求出二维情况下电子浓度n与kF的关系式。 （b）证明在二维情况下，费米面的态密度
• g(ε)=常量（ε>0）
• g(ε)=0（ε<0）
(a)解：设二维晶格面积为S，则k空间的态密度为
S (2 )2
应用费米分布, 对各向同性的波矢分布，被电子占据的状态
1. 对一含有一价原子的两维金属，具有长方形结构， a=2Å; b=4Å.（a）画出第一布里渊区，给出标尺 （量纲：cm-1）；（b）计算出费米球的半径 （量纲：cm-1）；
解：(a)设正格子基矢为 a1 ai ， a2 bj，倒格子基矢 为 b1 x1i y1 j ，b2 x2i y2 j
➢ 金属中晶格和电子均对热导有贡献，绝缘体中仅有晶格对
热导有贡献。
➢ 热导率
1 Cvl 3
➢ 金属中


2
3
nkB2T mv2
vl

2nkB2T
3m
➢
维德曼—弗兰兹定律



2kB2Tn 3m ne2 m

2 3

k
2 B
e
2
T
• 通过结构物性所学的知识，以及热容量微观来源， 试预测什么样的分子所组成的材料比热高？什么 结构的材料的比热高？
2 108 cm1
(b)二维金属的价电子浓度
n 1 1.251015 ab
设二维晶格面积为S，则k空间的态密度为
cm 2 S
(2
)
2
应用费米分布，对各向同性的波矢分布，被电子占据的状态
数为：
Z 2 S k 2 Sk 2 （考虑电子自旋）
(2 )2
2
•
定义费米波矢：N SkF 2
电荷上升，使得产生的霍尔电场增大。因此，霍尔系数与电
子浓度成反比。为霍尔系数，表示产生霍尔效应的本领大小，
与电子浓度成反比
思考题:
• 除了用热电子发射方法以外, 请设计另一种测量功函数的 方法。
光电效应、场致电子发射……
• 请就你所知论述材料热导率k与电导率 之间的关系，并分 别以金属和绝缘体为例加以说明。
kB2 EF0

2 RkB 2 3 2n
2
3
m
• 由实验测量的金属钾热容，测量图中实验曲线的斜率，可 得晶格热容系数
A 2.57mJ mol1 K 4 注意：大部分同学的单位错了
D

12 4
( 5A
R)1/ 3

12 4
( 5A
NkB )1/3

12 4
.6 5
2.15072311.308310少23 数9同1.0学 K计 算错误
=
������������ ������������������
I nev
因此当电流恒定时，载流子的漂移速度与其浓度成反比。于
是当载流子浓度上升时，其漂移速度下降，从而使得电子受
到的洛伦兹力变小，在电极两端积累的电荷变小，使得产生
的霍尔电场下降。反之，如果载流子浓度减小，则其漂移速
度上升，使得电子受到的洛伦兹力变大，在电极两端积累的
• ［提示，金属钾为体心立方结构，其晶格常数为532.8 pm； ħ=1.0510-34(Js); kB=1.3810-23(J/K); R=8.31(J/mol*K)］
• 解：低温金属热容 C Cph Ce AT 3 T
• 其中 A

12 5
4
R
1 3D
,

2
N 2
E
0 F
在 0 ，费米面的态密度 g( ) dZ mS （常数）
dE 2
������������
少数同学算错得 ������2ℎ2
在 0 ，无电子占据态，即 g( ) 0
4. 根据Drude模型，金属中自由电子的运动方程为
（可自行推导）： dpt pt f t
• 介电函数 1 1 i
0
较大问题，各种答案
4������������������ OR ������(������) = 1 + ������ OR
������(������)
=
1
−
������������2 ������2 + ������������������
2
，N为电子总数。
• 则费米半径
kF
2N
S
2n 8.86 107 cm1
注意：费米半径为kF , 不是kF的平方
2. 图2给出了金属钾的低温热容测量结果（注意单位），求： • 其晶格热容系数及德拜(Debye)温度； • 其电子热容系数及电子热质量； • 论述为何低温比热比常温比热低。
3
2

(532.8
2 1012
)3
2 8.311.381023
2 3
1.11030 kg
• 金属比热来源于晶格比热和电子比热 C Cph Ce 。前者跟 声子数目有关，后者跟费米能附近的电子数目有关。低温 下，被激发的声子数以及费米能kBT 的电子数目要比常温 下的要少，所以低温比热比常温比热低。
1. 相对分子质量大的分子组成的材料热容高； 2. 晶格常数小的材料，极性分子材料的比热大； 3. 非晶材料内部长程无序，比热大； 4. 结构稳定，键强强的材料比热高； 。。。。。。
数为
Z 2 S k 2 Sk 2
(2 )2
2
（考虑电子自旋）
N为电子总数，定义费米波矢：
则
kF
2N S
2n
无问题
N Sk F 2 2
(b)证明：费米能
E
0 F


2k
2 F
2m0
2
2m0
2N S
态密度即单位能量的状态数，低于费米能量的状态数为：
Z

m0 S 2