V i zi zc i1 V
(4-17) 和形式
对于连续匀质物体
ΔVi
0
Σ
∫
xc
VxdV
V
yc
V
ydV V
zc
VzdV
V
(4-18) 积分形式
物体的几何形体中心又 称为形心。
因此，匀质物体的重心与形心重合 3
(1)匀质等厚薄壳
A z
ΔA i
t
t
o
y
x
厚度t=常量, ΔVi=ΔAit V=ΣΔVi =ΣΔAit =At
（1）分割法
10cm A1
20cm y
10cm A2
30cm
y1
A3 y3
y2
10cm
o
x
例：试求匀质槽形钢板的 重心。
解：由对称性可知 xc=0
A1 A2 10 30 300cm2 y1 y2 15cm
A3 10 20 200cm2 y3 5cm
3
Ai yi
yc
i 1 3
Ai
27mm
14
例4-8 已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm,b 13mm 求：其重心坐标。
解：用负面积法，为三部分组成，设大半圆面积为A1， 小半圆（半径为r+b）面积为A2 , 小圆（半径为r）面积为A3，为负值。 由对称性，有
而
由
得
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
n
n
V i xi
Ait xi
xc i1 V
i1 At
n
Ai xi xc i1 A
n
同理:
Ai yi
y i1
c
A
(4-19a)
n
Ai zi zc i1 A
或
xc
AxdA
A
yc
A ydA
A
(4-19b)
zc
AzdA
A
4
(2)匀质等截面细长杆
z A
ΔLi
L
o
y
x
横截面面积A=常量 ΔVi=AΔLi V=ΣΔVi =AΣΔLi =AL
2）图示弓形面积可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得 到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角形的面积， 重心位置查表可得；故所求弓形体物块的重心的坐标为
10
扇形OAx1
2 3
R sin
三角形OAB的面积
A2
1 (2R sin)(R cos)
2
R2
s in
其面积与坐标分别为 x1 15mm y1 45mm A1 300mm 2
x2 5mm y2 30mm A2 400mm 2 则 x3 15mm y3 5mm A3 300mm 2
xC
Ai xi A
A1x1 A2 x2 A3x3 A1 A2 A3
2mm
yC
Ai yi A
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
c
c
c
c
c
c
c
c
c
6
2.积分法 适用于形状规则的物体。
y
dL
A R
B θ dθ
y
αα
o
x
例：已知圆弧AB半径R，圆 心角2α。求：AB圆弧段的 重心。
解： 由对称性可知
xc=0 dL=Rdθ y=Rcosθ
ydL
R cos Rd
y L c dL L
Rd
R sin
7
3.组合法 适用于形状较复杂的物体
6－3 重心
一. 重力的概念
重力可视为与地平面垂直 的空间平行力系
二 . 重心 1.定义： 重力合力作用点称为重心 2.特点 无论刚体如何放置，重力 作用线总是通过该刚体的 重心 3.重心在工程上的重要意义
北
离心力
引力 重力
西
地心 α
东
地轴 南 G
C
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三. 重心坐标公式 1. 任意物体的重心公式
cos
其重心位置：
x2
2 (R cos )
3
xc
A1 x1 A2 x2 A1 A2
2 R3 sin 2 R3 sin cos2
3
3
R 2 R 2 sin cos
2R sin (1 cos2 ) 4R sin 3 3( sin cos ) 3(2 sin 2 )
11
y
解:(1)分割法
40.01mm
15
4.实验法 （1）悬挂法
A
B
A
c
适用于体积小、质量 小的物体
（2）称重法
c
A
B
G
NA
NB
xc
L
适用于体积大、质量 大的物体
16
由上面三式得：
n
Gixi
xc
i 1
G
n
Gi yi y i1
cG
n
Gizi
zc
i 1
G
（4-16）
2
2. 匀质物体的重心坐标公式
容重γ=常量
Gi= γΔVi G= γV
n
n
Gi xi
V i xi
xc
i 1
G
i1
V
同理:
n
V i xi xc i1 V
n
V i yi
y i1
c
V
n
yc
i 1 2
Ai
i 1
120015 400 20 1200 400
12.5cm
9
2. 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧AMB与弦 AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。
解 1）在物块的对称面上建立图示 直角坐标系oxy，由对称性知，弓形 体物块的重心必在x轴上，故yc=0。
5m
取坐标如图且把平
面图形分为 A和 B两 部分.
C1
15m
5m
C1(2.5,7.5) C2(12.5,2.5)
A
o
C2
B
x
20m
xc
515 2.5 15 512.5 515 15 5
7.5
yc
515 7.5 15 5 2.5 515 15 5
5
12
(2)负面积法
y 5m
取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A.
n
n
V i xi
ALi xi
xc i1 V
i1 AL
n
Li xi xc i1 L
n
Li yi
同理: yc i1 L (4-20a)
n
Li zi zc i1 L
或
xc
LxdL
L
yc
L
ydL L
(4-20b)
zc
LzdL
L
5
四. 确定匀质物体重心的几种方法 1.对称性法 匀质物体的重心一定在其对称面、对称轴或对称中心上
z
ΔV i
Mi
M2 c
M1
o
x
yi
Gi
zi
G G2 G1
xi
zc xc
y
yc
n
G Gi i 1
根据合力矩定理，得
n
G yc Gi yi i 1
n
G xc Gi xi i 1
(a) (b)
M1
y
M2
G2
G1 c
Mi ΔVi G
Gi y c z yi xi xc o
zi zc x
n
G zc Gi zi (c) i 1
C1(10,7.5) 以及负面积的矩形B.
C2
A
C1
C2(12.5,10)
o
20m
xc
201510 151012.5 2015 1510
7.5
yc
2015 7.5 151010 2015 1510
5
5m
B
x
13
例4-7 已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。
求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可。 用虚线分割如图， 为三个小矩形，
i 1
30015 2 200 5 300 2 200
12.5cm
8
（2）负面积法
10cm A1
20cm y A2
10cm
y2 y1
o
30cm
10cm x
解：由对称性可知
xc=0
A1 40 30 1200cm2 y1 15cm
A2 20 20 400cm2 y2 20cm
2
Ai yi