2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．1 D．2．（5分）A={x|y=lg（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2） D．（1，4]3．（5分）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足，则z=x+y的取值范围为（）A．[0，3]B．[2，7]C．[3，7]D．[2，0]5．（5分）已知，p：sinx＜x，q：sinx＜x2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0 B．9 C．18 D．547．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）直线x+2y=m（m＞0）与⊙O：x2+y2=5交于A，B两点，若|+|＞2||，则m的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，在随机取一个实数a，则f （a）＞0的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足BA=BC=，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A．8πB．16πC．πD．π11．（5分）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，且，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若x•f'（x ）+f （x ）=e x （x ﹣1），且f （2）=0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（1，2） D ．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= ．14．（5分）已知函数f （x ）为偶函数，当x ＞0时，f （x ）=xlnx ﹣x ，则曲线y=f （x ）在点（﹣e ，f （﹣e ））处的切线方程为 ．15．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有= （其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P ﹣ABE 、P﹣CDF 的体积）．16．（5分）方程f （x ）=x 的解称为函数f （x ）的不动点，若f （x ）=有唯一不动点，且数列{a n }满足a 1=1，=f （），则a 2017= ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知直线是函数f （x ）=msin2x ﹣cos2x 的图象的一条对称轴．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f （B ）=2，且，求的取值范围．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为AB中点，．（Ⅰ）设ND中点为Q，，求证：MQ∥平面ABC；（Ⅱ）若M到平面BCD的距离为，求直线MC与平面BCD所成角的正弦值．20．（12分）椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|=2，∠PF2Q=90°，且△PF2Q的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣a+lnx．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞1时，f（x）＞2x﹣1；（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，求实数a的取值范围．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2017•全国三模）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．1 D．【解答】解：由z•（1+i）=2i，得，则|z|=．故选：A．2．（5分）（2017•全国三模）A={x|y=lg（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2） D．（1，4]【解答】解：A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，={y|0≤y≤2}，则A∩B=（1，2]，故选：B．3．（5分）（2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．4．（5分）（2017•全国三模）已知实数x，y满足，则z=x+y的取值范围为（）A．[0，3]B．[2，7]C．[3，7]D．[2，0]【解答】解先根据约束条件画出不等式组表示的可行域，z=x+y的几何意义为直线在y轴上的截距．由图知，当直线z=x+y过点A（1，1）时，z最小值为2．当直线z=x+y过点B（4，3）时，z最大值为7．故选：B．5．（5分）（2017•全国三模）已知，p：sinx＜x，q：sinx＜x2，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx＞0，∴函数f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（0）=0，因此命题p是真命题．而，令g（x）=x2﹣sinx，则g′（x）=2x﹣cosx，=﹣1×π＜0，∴g′（x）=0有解，因此函数g（x）存在极值点，设为x0，则2x0=cosx0．g（x0）=﹣sinx0=﹣sinx0==∈，因此命题q不一定成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）（2017•全国三模）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0 B．9 C．18 D．54【解答】解：由a=18，b=27，不满足a＞b，则b变为27﹣18=9，由b＜a，则a变为18﹣9=9，由a=b=9，则输出的a=9．故选：B．7．（5分）（2017•全国三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为2，故其体积V=，故选：A8．（5分）（2017•全国三模）直线x+2y=m（m＞0）与⊙O：x2+y2=5交于A，B 两点，若|+|＞2||，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线x+2y+m=0与圆x2+y2=5交于相异两点A、B，∴O点到直线x+2y+m=0的距离d＜，又∵，由OADB是菱形，并且OC＞2AC，可知，OC＞2．圆的圆心到直线的距离d＞2，可得：，m＞0，解得m∈（2，5）．故选：B．9．（5分）（2017•全国三模）已知函数，在随机取一个实数a，则f（a）＞0的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在使f（a）＞0的a的范围为（），区间长度为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选C．10．（5分）（2017•全国三模）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足BA=BC=，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A．8πB．16πC．πD．π【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC为截面圆的直径，故外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，∴当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为PD，∴××PD=3，解得PD=3，设外接球的半径为R，则OD=3﹣R，OC=R，在△ODC中，CD=AC=，由勾股定理得：（3﹣R）2+3=R2，解得R=2．∴外接球的体积V==．故选：D．11．（5分）（2017•全国三模）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，且，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设|PF1|=x，|PF2|=y，设∠PF1F2=θ，则有y﹣x=2a，tanθ=，又由，则有x2+y2=|F1F2|=4c2，e2=====1+=1+=1+，令t=tanθ+，由于θ=，则tanθ∈（2﹣，），则t∈（，4），则有2≤e2≤2+4，则有≤e≤+1，即双曲线离心率e的取值范围是[，+1]；故选：D．12．（5分）（2017•全国三模）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若x•f'（x）+f（x）=e x（x﹣1），且f（2）=0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（2，+∞）【解答】解：函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，令φ（x）=xf（x），则φ′（x）=x•f'（x）+f（x）=e x（x﹣1），可知当x∈（0，1）时，φ（x）是单调减函数，并且0•f'（0）+f（0）=e0（0﹣1）=﹣1＜0，即f（0）＜0x∈（1，+∞）时，函数是单调增函数，f（2）=0，则φ（2）=2f（2）=0，则不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，不等式的解集为：{x|0＜x＜2}．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）（2017•全国三模）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=27．【解答】解：由题意可得=，即x=27，故答案为：2714．（5分）（2017•全国三模）已知函数f （x ）为偶函数，当x ＞0时，f （x ）=xlnx ﹣x ，则曲线y=f （x ）在点（﹣e ，f （﹣e ））处的切线方程为 x +y +e=0 ． 【解答】解：函数f （x ）为偶函数，可得f （﹣x ）=f （x ）， 即有x ＜0时，﹣x ＞0， 当x ＞0时，f （x ）=xlnx ﹣x ，可得f （﹣x ）=﹣xln （﹣x ）+x=f （x ）， 则x ＜0时，f （x ）=﹣xln （﹣x ）+x ，导数为f′（x ）=﹣ln （﹣x ）﹣1+1=﹣ln （﹣x ），可得曲线y=f （x ）在点（﹣e ，f （﹣e ））处的切线斜率为k=﹣lne=﹣1， 切点为（﹣e ，0），则曲线y=f （x ）在点（﹣e ，f （﹣e ））处的切线方程为y ﹣0=﹣（x +e ）， 即为x +y +e=0． 故答案为：x +y +e=0．15．（5分）（2017•全国三模）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有=（其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P ﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．【解答】解：设PM 与平面PDF 所成的角为α，则A 到平面PDF 的距离h 1=PAsinα，C 到平面PDF 的距离h 2=PCsinα， ∴V P ﹣ABE =V A ﹣PBE ==，V P﹣CDF=V C﹣PDF==，∴=．故答案为：．16．（5分）（2017•全国三模）方程f（x）=x的解称为函数f（x）的不动点，若f（x）=有唯一不动点，且数列{a n}满足a1=1，=f（），则a2017=2017．【解答】解：由题意可知：=x，即x2﹣（a﹣1）x=0，由f（x）=有唯一不动点，则a﹣1=0，即a=1，f（x）=，=f（），整理得：=，=a n+1，∴a n+1﹣a n=1，数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则a n+1a2017=a1+（n﹣1）d=2017，故答案为：2017．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•全国三模）已知直线是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，且，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的一条对称轴，∴f（）=m+=或m+=﹣，解得m=；…..（3分）∴f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的增区间是：；…（6分）（2）由f（B）=2，得sin（2B﹣）=1，解得B=；又，由正弦定理得：，∴a﹣=2sinA﹣sin（A+）=sin（A﹣）；…（8分）又A∈（0，），∴A﹣∈（﹣，），∴sin（A﹣）∈（﹣，1），∴sin（A﹣）∈（﹣，），即a﹣∈（﹣，）．…..（12分）18．（12分）（2017•全国三模）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，解得a=0.30；（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，则p=0.1，抽取的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）=•0.93=0.729，P（X=1）=•0.1•0.92=0.243，P（X=2）=•0.12•0.9=0.027，P（X=3）=•0.13=0.001；∴X的分布列为数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x＜3，假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．19．（12分）（2017•全国三模）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为AB中点，．（Ⅰ）设ND中点为Q，，求证：MQ∥平面ABC；（Ⅱ）若M到平面BCD的距离为，求直线MC与平面BCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：延长三棱台的三条侧棱，设交点为S，当时M为FA 的中点，设CD中点为R，连MR，MQ，RQ，在梯形ACDF中，中位线MR∥AC，又MR⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MR∥平面ABC；在△CDN中，中位线QR∥CN，又QR⊄平面ABC，CN⊂平面ABC，∴QR∥平面ABC，又MR∩QR=R且MR⊂平面MQR，QR⊂平面MQR，∴平面MQR∥平面ABC，又MQ⊂平面MQR∴MQ∥平面ABC；（Ⅱ）解：设AB中点为H，连SH，AH，在△SAH中，作MO∥AH且交SH于点O，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AH⊂平面ABC，AH⊥BC，∴AH⊥平面SBC，又MO∥AH，∴MO⊥平面SBC（D），∴MO为M到平面SBC的距离，MO=．且∠MCO为直线MC与平面BCD所成角．∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，CD⊂平面BCDE，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC，在Rt△SAC中，DF∥AC，DF=1，AC=2，CD=1，由，得，即M为FA的中点．∴CF⊥SA，又CF=，FM=，∴CM=．在Rt△MCO中，sin∠MCO=．故直线MC与平面BCD所成角的正弦值为．20．（12分）（2017•全国三模）椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|=2，∠PF2Q=90°，且△PF2Q 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）∠PF2Q=90°⇒平行四边形PF1QF2为矩形，⇒|F 1F2|=|PQ|=2⇒c=1，又PF1+PF2=2a，得a2=2，b2=1，椭圆方程：…．（4分）（2）解：设直线l：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），则…．（6分）以MN为直径的圆经过点A，⇒3m2﹣2m﹣1=0…．（10分）又直线不经过A（0，1），所以m≠1，，直线l：y=kx﹣，直线经过定点…（12分）21．（12分）（2017•全国三模）已知函数f（x）=e x﹣a+lnx．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞1时，f（x）＞2x﹣1；（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：a=1时，，设，g'（x）在（1，+∞）递增，又g'（1）=0，∴x＞1时g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即e x+lnx﹣2x+1＞0，x＞1时，e x+lnx＞2x﹣1，即f（x）＞2x﹣1…．（6分）（2）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即即存在x0≥e，使．设（x≥e），则，设，在[e，+∞）递增，，所以u＞0在[e，+∞）恒成立，h'（x）＞0在[e，+∞）恒成立，所以h（x）在[e，+∞）递增，所以x≥e时，，需e a＞e e⇒a＞e…．（12分）请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•全国三模）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=1，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2=1，∴圆心为（0，0），半径为r=1，（t为参数）消去参数t的C2：y=x+2，（2分）∴圆心到直线距离d=，（3分）∴曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值为．（5分）（Ⅱ）∵把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．∴伸缩变换为，∴曲线：=1，（7分）（t为参数）代入曲线，整理得．∵t1t2＜0，（8分）∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•全国三模）已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．【解答】证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：|x|=[|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤[|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜（2×+3×）=；（Ⅱ）因为x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，∴x4+16y4≥2x3y+8xy3参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；刘老师；caoqz；双曲线；沂蒙松；w3239003；陈高数；qiss；zcq；zhczcb；danbo7801；whgcn；铭灏2016；742048；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年7月14日。