用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
⋅-=+2121,()
()
a a ac
b a
c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
【例题与讲解】
1.用一般式确定二次函数的表达式
1.1已知二次函数图像经过点A （0，-1），B （1，0），C （-1，2），则该二次函数的表达式为 。

1.2如图，平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2
，经过点A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点。

（1）求抛物线c bx ax y ++=2
的表达式；
（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值。

1.3已知二次函数的图像经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x 轴交于A ，B 两点。

（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P （﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，试说明理由．
2.用顶点式确定二次函数的表达式
2.1已知抛物线c bx ax y ++=2
的图像的顶点为（-2，3），且过点（-1，5），则抛物线的表达式为 。

2.2已知 A(1，0)，B(0，-1)，C(-1；，2)，D(2，-1)，E(4，2)五个点，抛物线，经过
其中三个点.
(1)求证：C ，E 两点不可能同时在抛物线上；
(2)点A 在抛物线上吗？为什么？
(3)求a 和k 的值。

3.用交点式确定二次函数的表达式
已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于两点A （1，0），B （3，0）与y 轴相交于点C （0，3），
（l ）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D （4，m ）是抛物线上一点，请求出m 的值，并求出此时△ABD 的面积．
【课内练习】
1.利用平移确定二次函数的表达式
已知函数c bx x y ++=2
的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到图像的表达式为322
--=x x y （1）b= ，c= ； （2）求原函数图象的顶点坐标； （3）求两个图象顶点之间的距离。

2.利用最值及另一点确定二次函数的表达式
已知二次函数c bx ax y ++=2
的最大值是2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求二次函数的表达式。

3.利用对称确定二次函数的表达式
已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数表达式：
（1）图像与已知二次函数的图像关于x 轴对称； （2）图像已知二次函数的图像关于y 轴对称；
（3）图像与已知二次函数的图像关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称。

4.利用与直线的交点确定是二次函数的表达式
如图，已知抛物线23y ax x c 2=-+与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线1
y x 22
=-交
于B 、C 两点，其中点C 是直线1
y x 22
=-与y 轴的交点，连接AC 。

⑴.求抛物线的解析式；⑵.证明：△ABC 为直角三角形；
⑶.△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由。

(选做)
5.利用顶点式的特点解决函数综合问题
如图8，直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2(2)y a x k =-+经过点A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ． （1）求a ，k 的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ ∆是以AB 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以
,,,A C M N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．（选做）
6.利用交点式的特点解决函数综合问题 如图，已知抛物线)4)(2(8
-+=
x x k
y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-
=3
3
与抛物线的另一交点为D. （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；
（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止.当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
7.在复杂情境中解决二次函数问题
（2012•宜宾）如图，抛物线y=x 2-2x+c 的顶点A 在直线l ：y=x-5上． （1）求抛物线顶点A 的坐标；
（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状； （3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（选做）
【方法小结】
用待定系数法求二次函数表达式时选择类型的方法：
（1）若已知图像上任意三个点的坐标，则利用一般式c bx ax y ++=2
求；
（2）若已知图像的顶点坐标（或对称轴或函数的最值），则利用顶点k m x a y +-=2
)(式求；
（3）若已知函数的图像与x 轴的两个交点，则利用交点式))((21x x x x a y --=（x 1，x 2是图像与x 轴，两个交点的横坐标）求。

【课后作业】
1.如果二次函数y=x 2+2kx+k-4图象的对称轴为x=3，那么k= 。

2.已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 。

3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 与x 的部分对应值如下表所示：
x … -1 0 1 2 … y
…
-2
1
2
1
…
则下列对该函数的判断中正确的是（ ）
A ．图象开口向上
B ．y 的最小值为-2
C ．图象与y 轴相交于负半轴
D ．方程ax 2+bx+c=0的正根在2与3之间 4.若直线y=ax+b （a≠0）在第二、四象限都无图象，则抛物线y=ax 2+bx+c （ ） A ．开口向上，对称轴是y 轴 B ．开口向下，对称轴平行于y 轴 C ．开口向上，对称轴平行于y 轴 D ．开口向下，对称轴是y 轴 5.关于二次函数y=3x 2-kx+k-3，以下结论： ①抛物线交x 轴有两个不同的交点； ②不论k 取何值，抛物线总是经过一个定点； ③设抛物线交x 轴于A 、B 两点，若AB=1，则k=9； ④抛物线的顶点在y=-3（x-1）2图象上．
中正确的序号是（ ）
A ．①②③④
B ．②③
C ．②④
D ．①②④
6.（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=2
1
x 2
+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
7.已知点A （-2，n ）在抛物线y=x 2+bx+c 上． （1）若b=1，c=3，求n 的值；
（2）若此抛物线经过点B （4，n ），且二次函数y=x 2+bx+c 的最小值是-4，请画出点P （x-1，x 2+bx+c ）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
8.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），对称轴是经过（-1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B 在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．
9.如图，抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．。