一元二次方程培优题
1.解方程3(25)2(25)x x x +=+
2.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰等腰三角形ABC 的两条 边长，求三角形ABC 的周长。

3.已知关于x 的方程2
(1)4120a x x a ---+=的一个根为3x =， （1）求a 的值及方程的另一个解
（2）如果一个三角形的三条边长都 是这个方程的根，求三角形ABC 的周长。

4.已知x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0的两实数根，等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1, x 2恰好是∆ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长。

5.已知a,b,c ,是三角形的三条边长，且关于x 的方程23())()04
b c x a c x a c +---=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。

6.若k >1,关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=的根的情况是( 写出计算过程 )
A.根和一个负根
B.有两个正根
C.有两个负根
D.没有实数根 解:
7.已知m 是一元二次方程2910x x -+=的解,求221871
m m m -++的值.
8.已知关于x 的一元 二次方程2
(3)10.x m x m ++++= （1）求证:无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根。

（2）若12,x x 是原方程的两根，且12x x -=m 的值，并求出此时方程的两根。

9.如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q =，请根据以上结论，解决下列
问题：
（1）已知关于x 的方程20(0)x mx n x ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程
两根的倒数。

（2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b b a
+的值。

（3）已知a 、b 、c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 最小值。

10．已知关于x 的方程2
m 1(m 1)x (m 2)x 10.＋＋＋－－＝.
(1)m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；
(2)m 取何值时，它是一元一次方程？
11.已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a (a ≠0)，求 a －b 的值。

12. 已知m ，n 是方程x 2－2x －1＝0的两个根，是否存在实数a 使(7m 2－14m ＋a )(3n 2－6n －7)的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
13．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.
14.解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48.
15.解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0
16. 若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值．
17. 解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016
18.对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中较大的数，如{}max 2,44=，按这
个规定，求方程{}21max ,x x x x
+-=
的解。

19.如图，在菱形ABCD 中，AC ,BC 交于点O ，8AC m =，6BD m =，动点M 从点A 出发沿AC 方向以
2/m s 匀速直线运动到点C ，动点N 从点BD 方向以1/m s 匀速直线运动到点D ，若点M ,N 同时出发，则出发后
20.已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足
(1)βαβ=-+，求m 的值。

21.已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，且满足
1212(3)(3)80x x x x --=-。

求实数a 的所有可能值。

22.若1x ，2x 是关于20x bx c ++=的两个实数根，且122x x k +=（k 是整数），则称方程20x bx c ++=为
“偶系二次方程”．如方程26270x x --=，2280x x --=，227304
x x +-=，26270x x +-=，2440x x ++=，都是“偶系二次方程”。

（1）判断方程2120x x +-=是否是“偶系二次方程”并说明理由.
（2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程20x bx c ++=是“偶系二次方程”？并说明理由。