（2008.12.03）高等数学（2）期末复习指导（文本）赵坚：各位老师，各位同学，大家好！现在是高等数学（2）教学活动时间，欢迎大家的参与。

今天活动的主题是：课程教学答疑和期末复习指导。

考试采取半开卷笔试的形式，考试时间为90分钟。

本学期高等数学（2)考试时间为09年1月9日8：30-10：00试题类型及结构：本课程的考试题型分为四种：填空题、单项选择题、计算题和应用题，相应的分数比例大致为15:15:52:18．命题依据：本课程使用的教学大纲是《中央广播电视大学高等专科高等数学课程教学大纲》．使用的教材为分别是《高等数学（下册）——多元函数微积分》和《高等数学（上册）》中第七章无穷级数中7，8，9节（柳重堪教授主编，中央电大出版社出版，2000年1月）．考试说明是考试命题的依据．第7章无穷级数（7，8，9节傅里叶级数部分）考核知识点：1．傅里叶级数：傅里叶级数的概念、傅里叶系数公式，周期为函数或定义在上的函数的傅里叶级数，狄利克雷定理．2．正弦级数或余弦级数：定义在上的函数展为正弦级数或余弦级数．考核要求：1．熟练掌握周期为或定义在上的函数的傅里叶级数展开，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．2．掌握定义在上的函数展开成正弦级数或余弦级数，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．第9章空间解析几何与向量代数考核知识点：1．空间直角坐标：空间直角坐标系概念，两点间距离公式．2．向量代数：向量概念，向量的模，单位向量，向量的坐标，方向余弦，向量的加减法，数乘向量，向量的数量积、向量积，两向量的夹角，平行、垂直的条件．3．空间平面：平面的点法式方程，一般方程，点到平面的距离．4．空间直线：直线的标准方程，参数方程，一般方程．平面与直线的位置关系的讨论．5．空间曲面与曲线：球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面，空间曲线的参数方程．考核要求：1．了解空间直角坐标系概念，掌握两点间的距离公式．2．了解向量、向量的模、单位向量、方向余弦等概念，掌握它们的坐标表示．掌握向量的加减法、数乘向量及它们的坐标表示．了解向量的数量积和向量积概念，掌握它们的坐标表示，熟练掌握向量平行和垂直的判别方法．3．熟练掌握平面的点法式方程，掌握平面的一般方程，会求点到平面的距离．4．熟练掌握空间直线的标准方程，掌握参数方程和一般方程，会进行这三种方程间的互化．掌握用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系（平行、垂直、重合等）．5．知道球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面的方程及图形；知道空间曲线的参数方程．第10章多元函数微分学考核知识点：1．多元函数：多元函数定义，二元函数的几何意义．2．偏导数与全微分：偏导数定义和求法，二阶偏导数，全微分，复合函数的(一阶)偏导数，隐函数的(一阶)偏导数．3．偏导数应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线．4．多元函数极值：二元函数极值的概念，极值点存在的必要条件，拉格朗日乘数法．考核要求：1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域．2．了解偏导数的概念，熟练掌握给定的具体函数的一阶、二阶偏导数的计算方法．掌握复合函数（包括含有函数符号的，如）一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数一阶偏导数．掌握全微分的求法．3．会求曲线（参数方程表示）的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线的方程．4．了解二元函数极值的概念，知道极值点存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题．第11章重积分考核知识点：1．重积分概念：二重积分的定义，几何意义、性质．2．二重积分的计算：直角坐标系下二重积分的计算方法、极坐标系下二重积分的计算方法．3．二重积分的应用：求立体的体积．考核要求：1．知道二重积分的定义，了解二重积分的几何意义和性质．2．熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算方法．会在直角坐标系下交换积分次序．掌握在极坐标系下二重积分的计算方法．3．掌握曲顶柱体的体积的求法，会求由简单曲面围成的空间立体的体积．第12章第二类曲线积分考核知识点：1．曲线积分概念：第二类曲线积分的概念、性质．2．曲线积分计算方法：把曲线积分化为定积分再计算．3．格林公式：用格林公式将曲线积分化为二重积分计算．4．曲线积分与路径无关的条件．考核要求：1．了解第二类曲线积分的概念和性质（线性性质、对积分路径的可加性）．2．掌握把曲线积分化为定积分的计算方法；掌握用格林公式将曲线积分化为二重积分的方法；3．了解曲线积分与路径无关的条件．高数（2）（08）秋期末综合练习一、填空题1．两向量b a ,满足b a //的充分必要条件是 ．2．球心在点)0,1,1(-，半径为2的球面方程为 ．3．设函数2e xy z =，则=∂∂yz ． 4．设函数y x z 22=，则=z d ．5．若改变累次积分的次序，则⎰⎰=x x y y x f x 2d ),(d 10 ． 6．设l 是圆周422=+y x 的正向，则=+-⎰l y x x y d d 21 ． 7．设D 是由封闭曲线l 围成的区域，若在D 内恒有等式 ，则有0d ),(d ),(=+⎰ly y x Q x y x P ． 二、单项选择题1．平面053=-+z y x 的位置关系是（ ）．A ．与OXY 面平行B ．与OXZ 面平行C ．经过坐标原点D ．与X 轴垂直2．下列方程中表示锥面的方程是（ ）．A ．22y x z +=B ．222y x z +=C ．1222=++z y xD ．22y z =3．函数yx z arcsin =的定义域为（ ）． A ．11≤≤-y x B ．11<<-yx C ．y x <-1 D ．1<y x 4. 若函数y x z 2=，则=∂∂∂xy z 2（ ）．A ．yx 2 B ． 2x C ．x 2 D ． 22y x -5. =⎰⎰Dy x d d （ ），其中D 是由x 轴、y 轴及直线x y -=1围成的区域． A ．1 B ．21C ．31D ．416．若)(x f 是以π2为周期的奇函数，则)(x f 的傅氏系数的计算公式是（）．A ．),2,1(d sin )(π1,),2,1,0(0π0 ====⎰n x nx x f b n a n nB ．),2,1(0,),2,1,0(d cos )(π1π0 ====⎰n b n x nx x f a n nC ．),2,1(d sin )(π2,),2,1,0(0π0 ====⎰n x nx x f b n a n nD ．),2,1(0,),2,1,0(d cos )(π2π0 ====⎰n b n x nx x f a n n三、计算题1．求过点)0,1,1(且平行于直线⎩⎨⎧-=+=-2312z y y x 的直线方程．2．求过点)1,0,2(且平行于平面52=-y x 的平面方程．3．设),(22y x y x f z +=，求y z∂∂．4．设)cos ,e (2y x x f z y =，求y z∂∂．5．设z y xz e =，求z d ．6．设y z z x e sin +=，求z d ．7．计算⎰⎰+Dy x y x d d 22，其中D 是区域：由0,422≥≤+x y x ．8． 计算⎰⎰Dy x y d d ，其中D 是由x y x y ==,2围成的区域．9．将函数⎩⎨⎧≤<-≤<=0π,0π0,)(x x x x f 展成周期为π2的傅里叶级数． 10．将函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--=≤<=0π,10,0π0,1)(x x x x f 展成周期为π2的傅里叶级数．四、 应用题1．在直线1+=x y 上找一点，使它与点)0,1(A 的距离最短．2．在一个半径为R 的半圆内内接一个矩形，矩形的边长取何值时其面积最大？高数（2）（08）秋期末综合练习参考答案一、填空题1. 0=⨯b a2. 4)1()1(222=+++-z y x3. 2e 2xy xy4. y x x xy d 2d 42+5．⎰⎰y y x y x f y d ),(d 10 6．π4 7．yP x Q ∂∂=∂∂ 二、单项选择题1．C 2．B 3. A 4. D 5. B 6．C三、计算题1．解： 因为所求直线的方向向量为：)6,2,1()1,3,0()0,1,2(--=⨯-=n所以直线方程为：62111z y x =--=-- 2．解： 因为所求平面的法向量为：)0,2,1(-=n所以平面方程为：022=--y x3．解：设),(v u f z =，其中y x v y x u 22,=+=，得 vz x u z y y v v z y u u z y z ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂22 4．解：设),(v u f z =，其中y x v x u y cos ,e 2==，因为vz y x u z x y v v z y u u z y z y ∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin e 2 5．解 左)d d (21)(d 21)(d z x x z xz xz xzxz +=== 右y z y y y y z z z z z d e d e d e )e (d )e (d +=+==由此得y xz y x xzx xz y x zz z z z d e 2e 2d e 2d -+--=6．解：等式两端求微分得左z z x x z z x d cos d sin )sin (d +==右y z z z yy y d e d )e (d d )e (d +=+=+=由此得 y z x x z x z z yd 1cos e d 1cos sin d -+--= 7．解：利用极坐标计算π38d d d d 2022π2π22==+⎰⎰⎰⎰-r r y x y x D θ 8．解：将二重积分化为累次积分得⎰⎰⎰⎰=x x D y y x y x y 2d d d d 10203)d (21d )2(1041022=-==⎰⎰x x x x y xx 9．解：)(x f 的傅氏系数为2πd π1d )(π1π0π00===⎰⎰x x x x f a ⎰⎰-==π0π0π0d sin π1sin π1d cos π1x nx n nx x n x nx x a n]1)1[(π1cos π12π02--==n n nx n ⎰⎰+-==π0π0π0d cos π1cos π1d sin π1x nx n nx x n x nx x b n 1)1(1--=n n故 )ππ(]sin )1()12cos()12(2[4π)(112≤<--+---+=-+∞=∑x nx nx n n x f n n π 10．解：因为)(x f 为奇函数，故0=n a ， ,2,1,0=n⎰⎰==ππ00d sin π2d sin )(π2x nx x nx x f b n ])1(1[π2cos π20n n nx n --=-=π 故 )ππ()12s i n (π)12(4)(1≤<---=∑+∞=x x n n x f n ．四、 应用题1．解： 直线1+=x y 上找一点距点)0,1(A 的距离平方为22)1(),(y x y x f +-=条件函数为 1+=x y作辅助函数 )1()1(),,(22+-++-=y x y x y x F λλ由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=∂∂=-=∂∂=+-=∂∂0102022y x F y yF x x F λλλ解得1,0==y x ，可以断定，直线1+=x y 上点)1,0(M 与点)0,1(A 的距离最短．2． 解： 设矩形的长、宽分别为y x ,2，则矩形的面积为),(y x f =xy 2条件函数为 222R y x =+作辅助函数 )(2),,(222R y x xy y x F -++=λλ 由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂0022022222R y x F y x yF x y x F λλλ 解得R y x 22==，当矩形的长、宽分别为R 2与R 22时面积最大．马少帅：赵老师好！有什么新指示？赵坚：马老师好，欢迎参加教学活动。