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令 t1 t2 t 则有, ( 5.10 ) 由（1）（2）及（3）可见均与t有关，说明初始 条件量随机时，引起的响应是非平稳随机过程。
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Dy ( t ) Dy0 F12 2C y0 y0 F1F2 Dy0 F22
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.3系统受基础运动随机激励 动 如图5.3所示。 及 x mx c( y ) k( z x ) 0 试 y x 验 m( ) cy ky 0 技 my cy ky mx 术 2 2n y n y (5.11) y x
12 11
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A11 A12 1 y y （7.1）+（7.2）得 ： m( 1 2 ) k ( y1 y2 ) x1 ( t ) x2 ( t ) y y （7.1）-（7.2）得 ：m( 1 2 ) 3k ( y1 y2 ) x1 ( t ) x2 ( t )
(5.13)
(5.12)模的平方
1 H ( ) 2 (n 2 ) 2 4 2n2 2
2
(5.14)
对于欠阻尼情 况,(5.14)可以用图 5.4表示。
H ( )
1
2 n
2
n
图
n
５.4ຫໍສະໝຸດ 2013-3-127
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(1/ 2 k )
(1/ 2 k ) 2 S0
2kc (1/ 2 k )
d —均方带宽
故：
E[Y 2 ] 2
作业6.2
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| H ( ) |2 的峰值 均方带宽d (5.31)
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随 第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 6.1 两自由度线性系统的平稳随机振动 动 6.1.1 两自由度无阻尼系统的确定性振动 及 试 列出方程 （6.1）式（6.2）式 验 my1 2ky1 ky2 x1 ( t ) (6.1) 技 (6.2) my2 2ky2 ky1 x2 ( t ) 术
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随机振动及试验技术
授课教师：艾延廷
飞行器动力与能源工程学院
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.1 引言 单自由模型c，k，m 动 及 问题：初始条件是随机的; 试 基础运动是随机的; 验 质量块上作用力是随机的。 技 术
6.5 单自由度小阻尼系统共振时响应的近似算法
例5.1单自由度、白噪声激励
E[Y ]
2
S0
kc
(5.28)
1 2 k
小阻尼时， d n (d 1 2 n )
H (d ) 2
(5.29)
由(4.23)式知：
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 频率响应模下面的面积： 振 E[Y 2 ] 动 | H ( ) |2 d (5.30) 及 2 S0 2kc 试 S0 2 E[Y ] 验 kc 技 | H ( ) 2 d | E[Y 2 ] 0 术 d 2 2 2
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y0 F1 ( t ) y0 F2 ( t ) y
(5.7)
（1）数学期望
m y ( t ) E[Y ] m y0 F1 ( t ) m y0 F2 ( t )
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(5.8)
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 （2）自相关函数 Ry ( t1 , t2 ) E[Y ( t1 )Y ( t2 )] 动 及 E[( y0 F1 ( t1 ) y0 F2 ( t1 ))( y0 F1 ( t2 ) y0 F2 ( t2 ))] 试 E[ y2F ( t )F ( t ) y y F ( t )F ( t ) y y F ( t )F ( t ) y 2F ( t )F ( t )] 0 2 1 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 2 1 1 2 验 D * F ( t )F ( t ) 2C F ( t )F ( t ) D F ( t )F ( t ) y0 1 1 2 2 y0 y0 1 1 2 2 y0 2 1 2 2 技 (5.9) 术 （3）方差
图6.6测量沿海堤岸所受风力的概率特征
F F0 F y y0 y
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m cy ky F (5.20) y
F —平稳随机过程
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 Sy( ) 可用分析仪测量得到，表示成（5.21）式 振 动 4 B ( 2 2 ) Sy ( ) 及 [( k m 2 ) 2 c 2 ][( 2 2 2 ) 2 4 2 2 ]m 2 试 (5.21) 验 技 单自由度系统频率响应： 1 术 H ( ) (5.22) 2 m ic k
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或： 而：
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H ( )
2
1 ( k m 2 )2 c2 2
(5.23)
SF ( ) Sy( ) / | H ( ) | 2
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 4 B ( 2 2 ) (5.24) 2 2 2 2 2 动 ( ) 4 及 试 上式两边做傅立叶逆变换，得： | | 验 (5.25) RF ( ) 2 Be (cos sin | |) 技 术 令 0 ，则 (5.26) E[ F 2 ] RF (0) 2 B 沈
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令：
y1 ( t ) A1 sin t y2 ( t ) A2 sin t
4 k 2 3k 2 4 2 0 m m
(6.3)
将(6.3)代入(6.1)式和(6.2)式,得 ： (6.4)
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随 第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 有两个固有频率： 动 n1 k / m n 2 3k / m (6.5) 及 试 和两阶振型： 验 A11 A12 (6.6) 1 1 A技 ＝＝1 A21 A22 术 设： q1 A11 y1 A12 y2 y1 y2 (6.7) 沈 q2 A21 y1 A22 y2 y1 y2

(5.16) (5.17)
或
my
m h( )d x

( t )为平稳随机过程时，y( t ) 亦为平稳的。 x
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 （2）相应的自相关函数（由4.10式可知） 动 RY ( ) E[Y ( t ) Y ( t )] 及 h(1 ) h( 2 ) E[ X ( t 1 ) X ( t 2 ]d1d 2 试 验 h(1 ) h( 2 ) R ( 1 2 ]d1d 2 (5.18) x 技 术 （3）响应的自功率谱密度函数
1 2 )e i ( 1 2 ) d ( 1 2 )
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 H ( ) H ( ) S ( ) 振 x 动 | H ( ) |2 S ( ) (5.19) x 及 单自由度系统受一个基础的运动激励是一个单输 试 验 入单输出系统。 技 6.4系统受随机激励时的受迫振动 术
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mq1 kq1 x1 ( t ) x2 ( t ) mq2 3kq2 x1 ( t ) x2 ( t )

和两阶振型：
1 x1 x2 q1 ( t ) m 1 2 q2 n2q2 x1 x2 q2 ( t ) m g1 ( t ) 、 g2 ( t ) 是广义坐标里力。
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.2 初始条件是随机时的振动响应 动 (5.1) my cy ky 0 及 或 试 (5.2) 2n y 2 y 0 y 验 2 c / 2mn 式中 n k / m 技 术
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SY ( )
把 RY ( ) 代入中 SY ( )

1 RY ( )e i d 2

SY ( ) h(1 )e i1 d1 h( 2 )e i 2 d 2 1 2
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Rx (
2 q1 n1q1
(6.8)
h1 ( )、 h2 ( ) 为新系统的脉冲响应函数。
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B的意义是均方值除以 2。 令 （5.25）式中 0 ，则
E[ F 2 ] RF (0) 2 B
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(5.27)
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第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动
讨论： (1)当时，激振力的周期性频率 (2)很大时，表示曲线衰减快，否则，曲线衰减慢。
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