函数的性质-函数的单调性函数的单调性核心知识点一：单调函数定义域为I的函数f（x）的增减性2. 函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。

证明函数f （x ）＝x ＋x在（2，＋∞）上是增函数。

解析：任取x 1，x 2∈（2，＋∞），且x 1＜x 2， 则f （x 1）－f （x 2）＝x 1＋14x －x 2－24x ＝（x 1－x 2）＋2112)(4x x x x -＝212121)4)((x x x x x x --。

∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－4＞0， ∴f （x 1）－f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2）， ∴函数f （x ）＝x ＋x4在（2，＋∞）上是增函数。

总结提升： 方法归纳：利用定义证明函数单调性的步骤作出函数f （x ）＝⎩⎨⎧>+-1,3)2(,2x x 的图象，并指出函数f （x ）的单调区间。

解析：f （x ）＝⎩⎨⎧>+-≤--1,3)2(,1,32x x x x 的图象如图所示， 由图可知，函数f （x ）＝⎩⎨⎧>+-≤--1,3)2(,1,32x x x x 的单调递减区间为（－∞，1]和（1，2），单调递增区间为[2，＋∞）。

总结提升：方法归纳求函数单调区间的两种方法 （1）图象法，可分为三步： ①作出函数的图象； ②观察函数图象；③上升图象对应增区间，下降图象对应减区间。

（2）定义法，可分为三步： ①作差并变形； ②判断各因式符号；③如果各因式符号确定，则函数在该区间上具有单调性，如果因式符号不确定，则需确定分界点分类讨论以确定单调区间。

已知函数f （x ）＝x 2－2（1－a ）x ＋2在区间（－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围。

解析：∵f （x ）＝x 2－2（1－a ）x ＋2＝[x －（1－a ）]2＋2－（1－a ）2， ∴f （x ）的减区间是（－∞，1－a ]。

∵f （x ）在（－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合。

∴1－a ≥4，解得a ≤－3。

总结提升：函数单调性应用的关注点（1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数。

（2）应用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式（组）或方程，解不等式（组）或方程可求得参数的取值范围。

（3）“函数f （x ）的单调区间是（a ，b ）”与“f （x ）在区间（a ，b ）上单调”的区别：前者表明区间（a ，b ）是其单调区间的全部，而后者表明区间（a ，b ）是其单调区间的子集。

（4）注意运用数形结合的思想来解决问题。

已知f （x ）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f （x －2）＜f （1－x ），则x 的取值范围为________。

解析：由题意，得⎩⎨⎧≤-≤-≤-≤-111121x x ，解得1≤x ≤2。

①因为f （x ）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f （x －2）＜f （1－x ），所以x －2＜1－x ，解得x ＜23。

② 由①②得1≤x ＜23。

易错总结：（1）本题易忽视函数的定义域为[－1，1]，直接利用单调性得到不等式x －2＜1－x ，从而得出x ＜23的错误答案。

（2）解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f ”，从而转化为熟悉的不等式。

若函数y ＝f （x ）在区间D 上是增函数，则对任意x 1，x 2∈D ，且f （x 1）＜f （x 2），有x 1＜x 2；若函数y ＝f （x ）在区间D 上是减函数，则对任意x 1，x 2∈D ，且f （x 1）＞f （x 2），有x 1＜x 2。

需要注意的是，不要忘记函数的定义域。

1. 证明判断单调性，变形是关键，常用的变形方法有“因式分解”，“配方”有理化等方法。

2. 单调性的判断方法，有图像法和定义法。

3. 已知函数单调性，求参数范围，要学会运用数形结合的方法。

结合图形来进行。

4. 抽象函数单调性问题，不要忽视了定义域。

（答题时间：30分钟）1. 若x 1，x 2∈（－∞，0），且x 1＜x 2，函数f （x ）＝x1，则f （x 1）与f （x 2）的大小关系是（ ）A. f （x 1）＞f （x 2）B. f （x 1）＜f （x 2）C. f （x 1）＝f （x 2）D. 以上都有可能2. 下列函数f （x ）中，满足对任意x 1，x 2∈（0，＋∞），当x 1<x 2时，都有f （x 1）>f （x 2）的是（ ）A. f （x ）＝x 2B. f （x ）＝x1C. f （x ）＝|x |D. f （x ）＝2x ＋13. 函数y ＝f （x ）在R 上为增函数，且f （2m ）＞f （－m ＋9），则实数m 的取值范围是（ ）A. （－∞，－3）B. （0，＋∞）C. （3，＋∞）D. （－∞，－3）∪（3，＋∞）4. 函数y ＝ax ＋1在R 上是单调递减的，则g （x ）＝a （x 2－4x ＋3）的单调递增区间是（ ）A. [2，＋∞）B. [－2，＋∞）C. （－∞，2]D. （－∞，－2]5. 已知函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋2在[－5，5]上单调，则实数a 的取值范围是（ ） A. a ≤－5 B. a ≥5C. －5≤a ≤5D. a ≤－5或a ≥56. 如图所示为函数y ＝f （x ），x ∈[－4，7]的图象，则函数f （x ）的单调递增区间是________。

7. 函数y ＝3|x |的单调增区间为________。

8. 证明：函数y ＝1x x在（－1，＋∞）上是增函数。

1. A 【解析】∵函数f （x ）＝x1在（－∞，0）上是减函数，又∵x 1，x 2∈（－∞，0），且x 1＜x 2，∴f （x 1）＞f （x 2）。

2. B 【解析】f （x ）＝x1在（0，＋∞）上为减函数，符合题意。

3. C 【解析】因为函数y ＝f （x ）在R 上为增函数，且f （2m ）＞f （－m ＋9），所以2m ＞－m ＋9，即m ＞3。

4. C 【解析】∵函数y ＝ax ＋1在R 上单调递减，∴a ＜0。

∴g （x ）＝a （x 2－4x ＋3）＝a （x －2）2－a ，抛物线开口向下，∴g （x ）的单调递增区间是（－∞，2]。

5. D 【解析】函数f （x ）＝（x ＋a ）2＋2－a 2的图象的对称轴为x ＝－a 。

∵f （x ）在[－5，5]上是单调的，∴－a≤－5或－a≥5。

故实数a 的取值范围是a≤－5或a≥5。

6. [－1.5，3]和[5，6]【解析】由图象知单调递增区间为[－1.5，3]和[5，6]。

7. [0，＋∞） 【解析】y ＝3|x |＝⎩⎨⎧<-≥.0,3,0,3x x x x由一次函数的单调性可得，单调增区间是[0，＋∞）。

8. 【解析】证明：设x 1>x 2>－1，则y 1－y 2＝111+x x －122+x x ＝)1)(1(2121++-x x x x 。

∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴)1)(1(2121++-x x x x >0，即y 1－y 2>0，y 1>y 2，∴y ＝1+x x在（－1，＋∞）上是增函数。

函数的最值注意：1. 对函数的最值的理解（1）最大值（或最小值）必须是一个函数值，是值域中的一个元素。

如函数f （x ）＝－x2（x∈R）的最大值是0，有f（0）＝0。

（2）使函数f（x）取得最值的自变量的值有时可能不止一个。

如函数f（x）＝x2，x∈[－1，1]的最大值是1，此时有f（1）＝f（－1）＝1，即取得最大值的自变量有两个。

（3）不等式f（x）≥M或f（x）≤M中的x是函数定义域中的任意值，不能是定义域中的部分值。

（4）不等号“≤”或“≥”中的等号必须能够成立，否则M不是函数的最值。

2. 函数的最值与值域的关系（1）函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域。

（2）函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不一定存在。

（3）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，即此时函数的最大值是其值域中的最大值，函数的最小值是其值域中的最小值。

典例一：利用函数的图象求函数的最值（1）函数f（x）在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A. －2，f（2）B. 2，f（2）C. －2，f（5）D. 2，f（5）解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f（5）。

（2）求函数f（x）＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<)21()10(1xxxx的最值。

函数f（x）的图象如图解析：由图象可知f（x）的最小值为f（1）＝1，无最大值。

总结提升：利用图象法求函数最值（1）利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法，对图象易作出的函数常用此法。

（2求函数f （x ）＝1-x 在区间[2，5]上的最大值与最小值。

解析：任取2≤x 1＜x 2≤5，则f （x 2）－f （x 1）＝122-x x －111-x x ＝)1)(1(1221---x x x x 。

∵2≤x 1＜x 2≤5，∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0， ∴f （x 2）－f （x 1）＜0，∴f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）＝1-x x在区间[2，5]上是减函数， ∴f （x ）max ＝f （2）＝122-＝2，f （x ）min ＝f （5）＝155-＝45。

总结提升：方法归纳函数的单调性与最值的关系：（1）若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f （x ）在[a ，b ]上的最大值为f （a ），最小值为f （b ）；（2）若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f （x ）在[a ，b ]上的最大值为f （b ），最小值为f （a ）。

已知函数f （x ）＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值。

（1）x ∈R ；（2）[0，3]；（3）[－1，1]。

解析：f （x ）＝3x 2－12x ＋5＝3（x －2）2－7。

（1）当x ∈R 时，f （x ）＝3（x －2）2－7≥－7， 当x ＝2时，等号成立。

即函数f （x ）的最小值为－7，无最大值。