华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第三节
25.3 解直角三角形—4 作业
一、积累·整合
1. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村
庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠
ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，
该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。
具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。
3. 某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。
从C点处测得A 的
俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。
已知海岸的高度为
4 米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。
A
B H C
4. 在∆ABC 中，∠=︒=C A 901，tan ，那么cotB 等于（ ）
A B C D ....
32133
5． 已知α为锐角，下列结论：
<>+=11sin cos αα <2>如果α>︒45，那么sin cos αα>
<3>如果cos α>
1
2
，那么α<︒60 <4>(sin )sin αα-=-112 正确的有（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6. （1）计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒
（2）计算：22459044211
(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π
二、拓展·应用
7． 如图1，在∆ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。
（1）求证：AC ＝BD （2）若sinC BC =
=12
13
12，，求AD 的长。
图1
8. 如图2，已知∆ABC 中∠=∠C Rt ，AC m BAC =∠=，α，求∆ABC 的面积（用α的三角函数及m 表示）
图2
9. 如图3，沿AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。
从AC 上的一点B ，取∠=︒=ABD BD 145500，米，∠=︒D 55。
要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A. 50055sin ︒米
B. 50055cos ︒米
C. 50055
tan︒米 D. 50055
cot︒米
图3
10.海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海
里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。
为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到01.︒）（如图4）
图4
参考数据：
sin..cos..
sin..cos..
sin..cos..
sin..cos..
6680
919166803939
6740923167403846
6840929868403681
7060943270603322
︒≈︒≈
︒≈︒≈
︒≈︒≈
︒≈︒≈
，
，
，
，
三、探索·创新
11.如图5，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有平整地带，
该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。
图5
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：<1>测量数据尽可能少；<2>在所给图形上，画出你设计的测量平面图，
并将应测数据标记在图形上（如果测A 、D 间距离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ、、等表示，测倾器高度不计）。
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示）。
【答案与解析】
1. 解：在中，Rt ABH BH AH
∆=
︒tan45
在中，Rt ACH CH AH
∆=︒
tan30
∴︒+︒=AH AH
tan tan 45301000
∴=->AH 5003500300
∴不会穿过
2. 解：（1）在A 处放置测倾器，测得点H 的仰角为α 在B 处放置测倾器，测得点H 的仰角为β
（）在中，2Rt HAI AI HI DI HI AI DI m ∆=
=
-=tan tan αβ
HI m
=
-tan tan tan tan αββα
HG HI IG m
n =+=
-+tan tan tan tan αββα
3.解：在中，Rt ABC BC AB ∆=︒tan45 在中，Rt ABG BG AB ∆=︒tan60 AB AB tan tan 60458︒-︒= ∴=+AB 443 ∴=+AC 4246
4. 分析：在Rt ABC ∆中，已知tanA ，求cotB 可利用互余角的三角函数关系求解，应选C 。
5. 解：由于α为锐角知<1>不成立
当4590︒<<︒α时，有sin cos αα>，即<2>正确；当cos α>
1
2
时，α<︒60，即<3>成立。
又01≤≤sin α，即(sin )sin αα-=-112
正确。
即<4>成立，故应选C 。
6. 分析：（1）可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；
（2）利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
注意分母有理
化，可求得（1）-1；（2）4
7. 分析：由于AD 是BC 边上的高，则有Rt ADB ∆和Rt ADC ∆，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。
解：（1）在Rt ABD ∆中，有tan B AD BD =
， Rt ADC ∆中，有cos ∠=DAC AD
AC
tan cos B DAC
AD BD AD
AC
AC BD =∠∴==，故 （2）由sinC AD AC =
=
12
13
；可设AD x AC BD x ===1213， 由勾股定理求得DC x =5， BC BD DC x =∴+==121812
即x =
23
∴=⨯
=AD 122
3
8 8. 分析：要求∆ABC 的面积，由图只需求出BC 。
解：由tan ∠=
BAC BC
AC
∴=∠=∠=∴=∴=
⋅=⋅=BC AC BAC AC m BAC BC m S AC BC m m m ABC tan tan tan tan ，αααα∆12121
2
2
9. 分析：在Rt BED ∆中可用三角函数求得DE 长。
解： A 、C 、E 成一直线
∠=︒∠=︒∴∠=︒ABD D BED 1455590，，
在Rt BED ∆中， cos cos D DE
BD
DE BD D =
∴=⋅， BD =500米，∠=︒D 55 ∴=︒DE 50055cos 米，故应选B 。
10. 分析：（1）由图可知∆ABO 是直角三角形，于是由勾股定理可求。
（2）利用三角函数的概念即求。
解：设需要t 小时才能追上。
则AB t OB t ==2426，
（1）在Rt AOB ∆中， OB OA AB 222=+，∴=+()()261024222
t t 则t =1（负值舍去）故需要1小时才能追上。
（2）在Rt AOB ∆中
sin .∠=
=≈AOB AB OB t
t
242609231 ∴∠=︒AOB 674. 即巡逻艇沿北偏东674.︒方向追赶。
11. 分析：本题实际是一道图形设计和数据的测量计算，依题意可有几种方案。
如测三个数据、测四个数据、测五个数据等。
但又要使测得的数据尽可能少，于是以三个数据为例。
解：如图5（1）测三个数据。
（2）设HG x =
在Rt CHG ∆中，CG x =cot β 在Rt DHM ∆中，DM x n =-()cot α
∴=-x x n cot ()cot βα，即x n =
-cot cot cot α
αβ。