7.1选择性样本模型
第7章说明
• 这些模型与方法，无论在计量经济学理论方面还是在实际 应用方面，都具有重要意义。但是，这些模型都形成了各 自丰富的内容体系，甚至是计量经济学的新分支学科，模 型方法的数学过程较为复杂。
• 本章只介绍其中最简单的模型，以了解这些模型理论与方 法的概念与思路。
二、“截断”问题的计量经济学模型
1 ()
1
(
)
1 ()
a P ( a ) 1 ( ) 1 ( )
ξ服从正态 分布
Φ是标准 正பைடு நூலகம்分 布条件 概率函
数
3、截断被解释变量数据模型的最大似然估计
yi Xii i ~N(0,2)
yi Xi ~N(Xi,2)
f(yi)11 ((((yai X Xii))// ))
lnLn 2(ln(2)ln2)212
人均收入 6090 6200 6330 6450 6570 6700 6840 7010 7170 7350 7500 7670 7840 8000 8190 8350 8500 8690 8830
人均消费 3900 3950 4000 4030 4080 4130 4000 4200 4160 4210 4325 4385 4450 4500 4865 4880 4890 4920 4970
2、截断分布 f(a)P(f( )a)
α为随机变量ξ分布范围内的 一个常数
f(c)P(f()c)b 1(b 1a d)b 1c ba c
如果ξ服从均匀分布U(a, b)，但是它只能在(c, b)内取得样本观测值，那么取得每一个样本
观测值的概率
f ( a) f () P( a)
(2 2 ) 1 2 e()2 /(22 )
OLS估计：将样本看为不受任何限制下随机抽取的样本
Y i 6 0 4 . 9 3 0 . 5 0 8 3 X i i 1 , 2 ,, 5 7 R 2 0 . 9 7 7 7
ML估计：将样本看为在消费水平大于1000元、小于5000
元的特定人群中随机抽取的样本
截断点 选择
估计方法选择
样本类 型选择
2、“归并”变量的正态分布
• 由于原始被解释变量y*服从正态分布，有
4、例7.1.1:城镇居民消费模型
人均收入 1120 1310 1300 1430 1500 1670 2100 2370 2530 2790 2980 3200 3460 3630 3880 4040 4210 4390 4520
人均消费 1020 1150 1145 1230 1275 1385 1660 1840 1950 2110 2240 2380 2550 2660 2700 2730 2720 2850 2800
2 i
i
i)
(1(i ))
y iy i a E ( y iy i a ) u i X i(i) u i
V a r ( u i) 2 ( 1 i 2 ii) 2 ( 1 i)
• 由于被解释变量数据的截断问题，使得原模型变 换为包含一个非线性项模型。
• 如果采用OLS直接估计原模型：
Y i 5 5 6 . 7 0 0 . 5 1 9 4 X i i 1 , 2 ,, 5 7 R 2 0 . 9 7 7 5
5、为什么截断被解释变量数据模型不能采用 普通最小二乘估计
• 对于截断被解释变量数据计量经济学模型，如果 仍然把它看作为经典的线性模型，采用OLS估计， 会产生什么样的结果？
– 实际上忽略了一个非线性项； – 忽略了随机误差项实际上的异方差性。 – 这就造成参数估计量的偏误，而且如果不了解解释变
量的分布，要估计该偏误的严重性也是很困难的。
三、“归并”问题的计量经济学模型
1、思路
• 以一种简单的情况为例，讨论“归并”问题的计 量经济学模型。即假设被解释变量服从正态分布， 其样本观测值以0为界，凡小于0的都归并为0， 大于0的则取实际值。如果y*以表示原始被解释变 量，y以表示归并后的被解释变量，那么则有：
人均收入 4640 4750 4800 4810 4990 5070 5130 5210 5300 5390 5450 5500 5570 5630 5690 5770 5860 5930 6000
人均消费 2900 2980 2970 3050 3200 3100 3175 3200 2450 3230 3310 3500 3510 3590 3600 3650 3720 3850 3800
n
(yi
i1
Xi)2
i n1ln1a Xi
l n 2 Li n12 12y i (y 2 i X 2 i 4 X i)i2 X i2i2ii n1gi 0
i(a X i)
i (i)( 1 (i) )
• 求解该1阶极值条件，即可以得到模型的参数估计 量。
• 由于这是一个复杂的非线性问题，需要采用迭代 方法求解，例如牛顿法。
1、思路
• 如果一个单方程计量经济学模型，只能从“掐头” 或者“去尾”的连续区间随机抽取被解释变量的 样本观测值，那么很显然，抽取每一个样本观测 值的概率以及抽取一组样本观测值的联合概率， 与被解释变量的样本观测值不受限制的情况是不 同的。
• 如果能够知道在这种情况下抽取一组样本观测值 的联合概率函数，那么就可以通过该函数极大化 求得模型的参数估计量。
• 因为yi只能在大于a的范围内取得观测值，那么yi 的条件均值为：
E(yi yi a) yi(yi yi a)dyi
a
Xi 1 ((a(( a XX i)i/)/))
E (y iy i a ) X i (i)
i
Xi
E(yi yi
Xi
a)
d i di
i Xi
(
i2i
i
)
(1
y0 yy*
当y* 0 当y* 0
y*~N(,2)
• 单方程线性“归并”问题的计量经济学模型为：
yyiim Xiax y(i*,0i)
i ~N(0,2)
•如果能够得到yi的概率密度函数，那么就可以方便 地采用最大似然法估计模型，这就是研究这类问题
的思路。
•由于该模型是由Tobin于1958年最早提出的，所以 也称为Tobin模型。