有向支路 j 指向 i 节点
aij =0
i节点与 j 支路无关
• 任意去掉一行剩下的线性无关，去掉的节点就做参考点节。
称为降阶关联矩阵。简称关联矩阵，记为A，（AI=0 对应独
立的n-1个KCL方程），A的秩为（n-1）Rank（Aa）=Rank
（A）=n-1
②
1
①
2
5
③
4
3
④
6
节支 1 2 3 4 5 6
例子：
1
3
2
4
{1，2，3，4} 割集
1
2
3
4
{1，2，3，4} 割集
三个分离部分
4 保留4支路，图不连通的。
②
1
2
①5
③
43 ④6
基本回路 {1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2. 连通图的主要关联矩阵（图的矩阵表示）
b1 1 0 0 0 0 b2 0 0 1 1 0 P= b3 0 0 0 -1 0 b4 1 1 1 1 1 b5 0 0 0 0 1
b1 b2 b3 b4 b5
① 1 0 0 0 0
② 1 1 0 1 1
At
③ ④
0 0
1 1 0 0
0
1 0
0
⑤ 0 0 0 0 1
下面给出证明
①
③３
3 0 1 1 0 0 -1
设④为参考节点
称A为（降阶）关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立节点与支路的关联性质
②
1
①
2
5
③
4
3
④
6
设:
i1
支路电流
i2
i
i3 i4
i5
i6
节支 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 -1 0 1 A= 2 -1 -1 0 0 1 0
3 0 1 1 0 0 -1
qij= -1 j支路与割集i方向相反
0 j 支路不在割集i中 约定 (1) 割集方向与树支方向相同。
(2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支
４
５
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
３
２
６
1
割集支 4
C1 1
Qf =C2 0
C3 0
设
[i] [i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T
（3） 基本割集矩阵Qf 用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质
４
５
３
２
６
1
设有向图具有n个节点，b条支路，则该图有n-1 个基本割集；那么基本割集矩阵是一个(n-1)b阶 矩阵，行对应于基本割集，列对应于支路，为：
Qf = { q i j } n-1 b
基本割集数
支路数
1 j支路与割集i方向一致
(3) 回路： 回路L是连通图G的一个子图。 具有下述性质 1)连通； 2)每个节点关联支路数恰好为2。
123 75
6 84
23 5 回路
12 5
78 9 不是回路
(4) 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： 1)连通； 2)包含G的所有节点； 3)不包含回路。
对于一个选定的树 树支：属于树的支路 连支：属于G而不属于T的支路
割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：
1) 把Q 中全部支路移去，将图恰好分成两个分离部分；
2)保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。
②
1
2
①5
③
2
1
5
①
43
4
④
6
6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
②
1
2
①5
③
1
2
①5
③
43 ④6
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 5 , 4}
•单树支割集（基本割集）
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
单树支割集
单树支割集
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 3 , 5 , 4}
独立割集
独立割集
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
矩阵形式的KCL A i = 0
②
1
①
2
5
③
4
3
④
6
1
0
ATun
0 1
0
1
节支 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 -1 0 1 A= 2 -1 -1 0 0 1 0
3 0 1 1 0 0 -1
1 0
un1 un2 u1
1 0 0 1 0
1 1 0 0
un1 un2
un3
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一指定节点，所经过的支路构成一条路径。
3） 连通图 图G的任意两节点间至少有 一条路径时称G为连通图。 4）有向图
图中的方向表示原电路中支路电压和 电流关联参考方向。
(2) 路径（简称路）：从图的某一个节点出发，沿着一些支路 连续移动到达另一个节点，这样的一系列支路称为图的 一条路径。一条支路本身也是一条路径。一般出发的节 点称为始节点，到达的节点称为终节点。支路和节点只 经过一次。
本回路，列对应于支路，为：
２
６
1
Bf = { b i j } l b
基本回路数 支路数 1 支路j与回路i关联，方向一致
bij= -1 支路j 与回路i关联，方向相反
0 支路j 不在回路i中 约定：
1. 回路电流的参考方向取连支电流方向。
2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。
选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。
把树支电压与节点电压联系起来。
3） P At1的证明
n1
令：D At P d i k , d i k ai j p j k
j 1
• 其中下标i，k，j分别表示节点的编号、道路编号和支路的编号
若第j条支路不与节点i关联时，ai j=0 第j条支路不在第k条道路Pk上时，有Pj k=0，此时有di k= ai jPj k=0
• 若规定各道路的选号与路的起始节点选号一致，终点是参考
点。则第k条路Pk起始节点就是节点k，路的方向从始节点指
向参考节点。
则：道路矩阵 P [Pij ]（n1）（n1）
Pij
11， ，bbtt
i在Pj上，同 i在Pj上，反
0，bt
不在
i
Pj
上
按上述规定写出P
支路 p1 p2 p3 p4 p5
p1
1 1
２
p3
④ p4
p2 ②
4
5
⑤
⑥
p5参考节点
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
PA t AtP 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
P At1
2）P At1:可以证明At 是A的（非零）大子阵（最高阶子矩阵
的行列式），A At Al At1
P At，1 这正是引入道路矩阵的目的，直接生成At的逆，也可
1）道路矩阵 P的构造： • 对于某图，所谓道路是指对一个选定的
p1
1 1
２
p3 p4
树，从任意节点到参考节点的路径；所 谓道路矩阵是指表征各树支与路径的关 联关系的矩阵。后面的分析将会看到， 道路（路径）矩阵P的引入会大大简化各 关联矩阵的生成。
p2 ②
4
5
⑤
⑥
p5参考节点
它的行对应树支，列对应道路（路径）。
因此就用抽象的点来代替原来的节点。用线段来代替原来的支 路，而得到的一个由节点和支路组成的图，称为电路的图。
•网络的图
网络拓扑
连接性质
i1 i2 + -
i3
i1 i2
i = 0
抽象
抽象 i1
i3
i2 i3
支路 电路图
抽象图
三端原件 i1
A
i2
A
i1
B 抽象
i2
B
i3
C
C
线段的个数与原件独立电流数目相同
0
1
1
0
0
1
i1
i2
i3
i1 i2 i1 i2 i2 i3
i1 i2 i3
i3
i4
i5
i6
i1
i2
i3
KCL的另一种形式
Bf =[ Bt 1 ]
Bf
T
=
B1Tt
B1Tt
il
it
il
it
B
T t
il
用连支电流表示树支电流
（1）关联矩阵A，用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
• 增广关联矩阵Aa：也叫全节点关联矩阵，是一个nb阶矩 阵，其中行对应节点；列对应支路；电流流出为正(+1)，流 入为负(-1)，无关为零。
增广关联矩阵 Aa={aij}n b
节点数 支路数
aij = 1
有向支路 j 背离 i 节点
aij
aij= -1
矩阵形式的KVL的另一种形式