第一章《常用逻辑用语》章末综合检测B 卷(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题是真命题的是( )A ．若x ＝y ，则1x ＝1yB ．若f (x )为偶函数，则f （－x ）f （x ）＝1C ．若a ＝－2b ，则|a |＝2|b |D ．若a >b ＋1，则a 2>b 22．若命题p ：x ＝2且y ＝3，则⌝p 为( )A ．x ≠2或y ≠3B ．x ≠2且y ≠3C ．x ＝2或y ≠3D ．x ≠2或y ＝33．“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(⌝q )是真命题D ．命题p ∨(⌝q )是假命题5．下列命题中的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0”D ．命题“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”的逆否命题为真命题6．“等式sin(α＋γ)＝sin 2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题p 1：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0；p 2：∀x ∈[1，2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是() A ．(⌝p 1)∧(⌝p 2) B ．p 1∨(⌝p 2)C ．(⌝p 1)∧p 2D ．p 1∧p 28．给定下列命题①“x ∈N ”是“x ∈N *”的充分不必要条件；②“若sin α≠12，则α≠π6”；③“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题；④命题“∃x 0∈R ，使 x 20－x 0＋1≤0”的否定．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④9．在△ABC 中，能使sin A >32成立的充分不必要条件是( )A ．A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3B ．A ∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3C ．A ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2 D ．A ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π610．已知a 、b ∈R ，那么“0＜a ＜1且0＜b ＜1”是“ab ＋1＞a ＋b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知命题p ：“∃x 0∈R ，|x 0|－lg x 0＝0”，则⌝p ：________，⌝p 是________命题(填“真”或“假”)．12．下列命题：①∃α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α＋cos β；②∀x ∈R ，x 6＋x 3＋1>0；③∀x ，y ∈R ，x ＋y 2≥xy ； ④∀x ，y ∈R ，⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥xy .其中假命题是________(写出所有假命题的编号)．13．若“x ∈[2，5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}是假命题，则x 的取值范围是________．14．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ≥a ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．15．在下列四个结论中，正确的是________．(填上你认为正确的所有答案的序号)(1)“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件；(2)已知a ，b ∈R ，则“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的充要条件是ab ＞0；(3)“a ＞0，且Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是R ”的充要条件；(4)“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(2)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2； (3)∃x 0∈{x |x ∈Z }，20log 2x >.17．已知p ：1<2x <8；q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立，若⌝p 是⌝q 的必要条件，求实数m 的取值范围．18．求证：“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．19．已知命题p ：x －5x＜0，命题q ：函数y ＝log 2(x 2－x －12)有意义． (1)若p ∧q 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若p ∨(⌝q )为假命题，求实数x 的取值范围．20．对于函数f (x )，若命题“∀x 0∈R ，f (x 0)≠x 0”的否定为真命题，则称x 0为函数f (x )的不动点．(1)若函数f (x )＝x 2－mx ＋4有两个相异的不动点，求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)＞0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1.解析：选C.对A ，当x ＝y ＝0时，1x ，1y无意义，故A 为假命题．对B ，当f (x )＝0，x ∈R 时，f （－x ）f （x ）无意义，故B 为假命题．C 为真命题．对D ，当a ＝1，b ＝－3时，a 2<b 2，故D 为假命题．2.解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以⌝p ：x ≠2或y ≠3.故选A.3.解析：选A.因为“a ＞0”⇒“|a |＞0”，但是“|a |＞0”⇒“a ＞0或a ＜0”，所以“|a |＞0” “a ＞0”，故“a ＞0”是“|a |＞0”的充分不必要条件．4.解析：选C.当x ＝3时，3－2>lg 3，故命题p 是真命题；∀x ∈R ，x 2≥0，故命题q 是假命题，由真值表知命题p ∧(⌝q )是真命题．5.解析：选D.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不对；“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不对；命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不对．在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B 为真，则它的逆否命题也为真命题，故D 正确．6.解析：选B.α，β，γ成等差数列⇒sin(α＋γ)＝sin 2β；反之不成立，如α＋γ＝π3，2β＝2π3. 7.解析：选C.∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 2＋x ＋1<0无解，故命题p 1为假命题，⌝p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1， ∴∀x ∈[1，2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，⌝p 2为假命题，∴(⌝p 1)∧p 2为真命题，选C.8.解析：选B.“x ∈N ”是“x ∈N *”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝π6，则sin α＝12正确，故②正确；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，③错误；④正确． 9.解析：选C.∵在△ABC 中，sin A >32时，π3<A <2π3， ∴能使sin A >32的充分不必要条件是选项C. 10.解析：选A.由0＜a ＜1且0＜b ＜1可推知(a －1)(b －1)＞0，由(a －1)(b －1)＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，b ＜1.故“0＜a ＜1且0＜b ＜1”是“ab ＋1＞a ＋b ”的充分不必要条件．二、填空题11.解析：∵特称命题的否定是全称命题，p 为真命题，∴⌝p 是假命题．答案：∀x ∈R ，|x |－lg x ≠0 假12.解析：①当α＝β＝π3时，cos ⎝⎛⎭⎫π3－π3＝cos0＝1， cos π3＋cos π3＝12＋12＝1，成立； ②x 6＋x 3＋1＝(x 3)2＋(x 3)＋1＝⎝⎛⎭⎫x 3＋122＋34>0成立； ③当x ＝－3，y ＝1时，x ＋y 2＝－3＋12＝－1<0，且－3无意义；④⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥xy ⇔(x ＋y )2≥4xy ⇔(x －y )2≥0成立． 答案：③13.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞51≤x ≤4，解得1≤x ＜2. 故x ∈[1，2)．答案：[1，2)14.解析：∵x 2－x ≥6，∴x ≤－2或x ≥3.∵p 是q 的必要不充分条件，∴{x |x ≥a }{x |x ≤－2或x ≥3}．∴a ≥3.答案：[3，＋∞)15.解析：(1)由x ≠0推不出x ＋|x |＞0，如x ＝－1，但x ＋|x |＝0，而x ＋|x |＞0⇒x ≠0，故(1)正确；(2)a ＝0时，也有|a ＋b |＝|a |＋|b |，故(2)错误，应该是“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的充分不必要条件是ab ＞0；(3)由二次函数的图象可知(3)正确；(4)x ＝－1时，有x 2＝1，故(4)错误，正确的应该是“x ≠1”是“x 2≠1”的必要不充分条件，所以(1)(3)正确． 答案：(1)(3)三、解答题16.解：(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．(2)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题．(3)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．17.解：p ：1<2x <8，即0<x <3，∵⌝p 是⌝q 的必要条件，∴p 是q 的充分条件．∴不等式x 2－mx ＋4≥0对∀x ∈(0，3)恒成立．∴m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x对∀x ∈(0，3)恒成立． ∵x ＋4x ≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立． ∴m ≤4.18.证明：充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1，两直线互相垂直． 必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1， 所以a ＋2b ＝0；若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以，a ＋2b ＝0.综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．19.解：由x －5x＜0，得0＜x ＜5，要使函数y ＝log 2(x 2－x －12)有意义，需x 2－x －12＞0，解得x ＜－3或x ＞4.(1)若p ∧q 为真命题，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜5，x ＜－3或x ＞4，解得4＜x ＜5. (2)若p ∨(⌝q )为假命题，则p 与⌝q 都为假命题，∴⌝p 与q 都为真命题，∵⌝p ：x ≤0或x ≥5，∴满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥5，x ＜－3或x ＞4，解得x ＜－3或x ≥5. 20.解：(1)由题意知方程x 2－mx ＋4＝x ，即x 2－(m ＋1)x ＋4＝0有两个相异的实根，所以Δ＝[－(m ＋1)]2－16＞0，解得m ＞3或m ＜－5，即M ＝{m |m ＜－5或m ＞3}．(2)解不等式(x －a )(x ＋a －2)＞0，当a ＞1时，N ＝{x |x ＞a 或x ＜2－a }；当a ＜1时，N ＝{x |x ＞2－a 或x ＜a }；当a ＝1时，N ＝{x |x ≠1}．因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分不必要条件，所以N M .当a ＞1时，⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－5，a ≥3，解得a ≥7；当a ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5，2－a ≥3，解得a ≤－5；当a ＝1时，不合题意，舍去．综上可得实数a 的取值范围是a ≥7或a ≤－5.。