此方法可以解决均匀平面的质心问题。定理中所指的平面运动可以是平移或绕定
轴旋转的运动。 ֺ4 ࿢܎ஆԅ R ጱ܎ࢺᶎጱᨶஞ֖ᗝ̶
解 半圆面绕 y 轴旋转 2π，形成一个球体，根据巴普
斯定理
4 πR3 !3 "#
=
1 π R2 !2 "#
⋅
2! π xC l
V
S
其中 xC 即质心横坐标，故
xC
=
4R 3π
物理学探究案03
2
③负质量叠加法 一个部分中空的物体，通常可以看成该物体由一个正质量的实心物体和一个负质 量的实心物体叠加而成的。由此，我们可以用位置的加权平均的方法来求取物体的质 心位置。 ֺ2 ࿢‫ࢶݦ‬Ӿᴢ୽᮱‫ړ‬ጱᨶஞ֖ᗝҁᨶᰁ‫࣐૲ړ‬۰҂̶ 解 该物体可视为一个半径为 R 的正质量大圆与一个 半径为 R 2 的负质量小圆叠加而成，设其质量面密度为
本方法主要用于处理不均匀的杆的质心位置。
ֺ3 ‫ࢶݦ‬Ӿᳩԅ l ጱ๧૪࿜ଘӬଘᤍ҅࿢๧ጱ ᨶஞӨૢᒒᅩጱ᪗ᐶ̶
解 由三力汇交原理，可得
( ) AC
=
l tan 45° tan 45° + tan 30°
=
3− 3 l 2
F1
45°
A
C
F2
60°
B mg
⑤巴普斯定理 此方法要引入巴普斯定理，这是一个十分有效的质心求解方案。
dx y
R2 − x2
故得到
∫ xC
=
1 πR
R 0
x
⎛ ⎝⎜
1
+
⎛⎝⎜
d d
y x
⎞⎠⎟
2
⎞ ⎠⎟
d
x
∫ =
1 πR
R 0
xR2 R2 − x2
d
x
=
2R π
故物体质心
⎛⎝⎜
2R π
,
0⎞⎠⎟
。
②组合法 将系统各个质量已知、位置已知的部分求取关于质量的加权平均位置，这也是定 义法的一种。 本方法直接套用定义式即可，这里不再展开。
对于前面的例1，也可以运用巴普斯定理来解。
解 考虑半圆弧，将其绕 y 轴旋转 2π，形成球面，据巴普斯定理
由此解得
4π R2 = π R ⋅ 2π xC
xC
=
2R π
物理学探究案03
4
示整个系统的质量，即
∑n
M = mi
i=1
显然，对于单个物体，其质心也可以由积分给出
∫ !"
rC
=
1 M
t2
m
(
t
)
! r
(t
)
d
t
t1
其中
m
(t
)
=
(m
(
x),
m(
y),
m(
z
))
和
r! (t
)
=
⎡ ⎣
x(t)Βιβλιοθήκη y(t)z(t)⎤T ⎦
分别是关于
t
的参数
方程。 当然，一般我们使用分量表达式来求取质心。此时不需要参数，对应的变量即可
物理学探究案03
3
ਧቘ ࣁӞଘᶎӤ‫ݐ‬ձӞᳮ‫܄ݳ‬ऒֵ҅ਙဠ࣮ፗԭᧆ‫܄‬ऒଘᶎᬩۖ୵౮Ӟӻᒈ֛҅ ᮎԍᬯӻᒈ֛ࢶ୵ጱ֛ᑌᒵԭᨶஞಅᕪ᪠ᑕӨ‫܄‬ऒᶎᑌጱԙᑌ̶
വᦞ ࣁଘᶎӤ‫ݐ‬ձӞใᕚྦྷֵ҅ਙဠ፳࣮ፗԭਙಅࣁଘᶎጱො‫ݻ‬ಚᬦӞӻᶎ҅ᮎ ԍᬯӻᶎጱᶎᑌጱय़ੜ੪ᒵԭᕚྦྷᑏۖጱ᪗ᐶԙզᕚྦྷጱᳩଶ̶
σ，则它们的质量
m1
=
σπ
R2
，
m2
=
− σπ R2 4
O
R
系统的质心位置一定位于 x 轴上，而两圆的水平位
置可以表示为
x1 = 0 ， x2 = R 2
因此系统的质心水平位置
xC
− σπ R2 ⋅ R
=
σπ
R
2
4 −
2 σπ R2
=−R 6
4
( ) 故物体的质心位置 − R 6,0 。
④力矩平衡法
用来表示坐标位置。 二、求取质心的方法 ①微元法求质心
物理学探究案03
1
微元法应用于求取质心位置，需要用到由积分给出的质心公式来求解。通常我们
会将物体看成由无穷个微元构成，然后逐个求取。这是定义法的一种。
ֺ1 ࿢܎ஆԅ R ጱ࣐۰܎ࢺሾጱᨶஞ֖ᗝ̶
解 要求半圆环的质心，首先要求总质量。设半圆环质量线密度为 λ，则
徐慎行 编号03 2015年4月25日
物理学探究案
求物体或系统质心的方法总结
一、质心的概念
物体的质心即质量中心，可以表示物体的位置。质心的运动状态可以表示物体或
整个系统的运动状态。
我们可以定义质心为系统内各物体位置关于质量的加权平均值，即
∑ !"
rC =
1 M
n! mi ri
i=1
!" ! 其中 rC 和 ri 分别表示质心和各个物体的位置矢量，mi 代表各个物体的质量，M 表
M = λπ R2 如图所示，由对称可以看出质心一定在 x 轴上，故只需
考虑其横坐标位置。即
∫ xC
=
1 M
R xλ dl
0
∫ =
1 λπ R
R 0
xλ
⎛ ⎝⎜
1
+
⎛⎝⎜
d d
y x
⎞⎠⎟
2
⎞ ⎠⎟
d
x
∫ =
1 πR
R 0
x
⎛ ⎝⎜
1
+
⎛⎝⎜
d d
y x
⎞⎠⎟
2
⎞ ⎠⎟
d
x
而对圆的方程求导可得
x2 + y2 = R2 ⇒ d y = − x = − x (y > 0)