自动控制原理试-7(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、(总题数：22，分数：100.00)1.试确定当p与g为何值时下列系统可控，为何值时可观测。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：系统的能控性矩阵为因为rankS=2=n，则p 2 +p-12≠0，得p≠-4且p≠3。
系统的能观性矩阵因为rankQ=2=n，则12q 2 -q-1≠0，得且。
2.将下列状态方程化为能控标准型（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为|S|≠0，所以系统可控。
构造非奇异性矩阵易得P 1 =(2 0 -1)则P 2 =(0 1 0)，P 3 =(-1 0 1)所以所以能控标准型为3.将下列状态方程和输出方程化为能观标准型。
y=[-1 1]x（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：系统能观性矩阵，求得，最后一列为。
B 0 =0，C 0 =CP=(0 1)所以4.验证如下系统能控性，并进行结构分解。
y(t)=[1 -1 1]x(t)（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：能控性矩阵为，rankS=2＜3故系统不可控。
选出线性无关的前两列，附加任意列矢量(0 1 0) T，构成非奇异变换矩阵T -1，则有令，则有故系统的能控性结构分解为5.验证题的能观性，并进行结构分解。
y(t)=[1 -1 1]x(t)（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：系统的能观性矩阵为，rankQ=2＜n系统不可观，取Q的两行和(0 0 1)构成非奇异矩阵T，则故系统的可观结构分解表达式为6.已知系统传递函数为试求系统可控不可观测、可观测不可控、不可控不可观测的动态方程。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(1)可控不可观：列写可控标准型，即(2)可观不可控：列写可观标准型，即(3)取不可观不可控的状态变量为x 2，所以，系统的不可控不可观的动态方程为7.试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：平衡状态X e =0；令P 1 =-4＜0，P 2 =12＞0，P 3 =-12＜0所以V(x)负定，又，故系统在原点是大范围渐进稳定的。
8.试用李雅普诺夫第二方法判断如下系统其在平衡状态的稳定性。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：平衡点(0 0)取，则因为P 1 =-2，|P|=12-9=3＞0，所以V(x)负定，又，故系统是大范围渐进稳定的。
设系统状态方程为（分数：12.00）(1).当取Q=I时，求P。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：取Q=I，则由A T P+PA=-Q得整理，得(2).若选Q为正半定矩阵时，求Q及对应的P。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：取，Q正半定，同理，有整理，得(3).并判断系统的稳定性。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对于第一小题中的矩阵P，P 11＜0，P 22＜0，P 33需要0，矩阵P不定，故系统不渐定稳定。
考虑到A阵|λI-A|=(λ+1)2 (λ-2)=0，λ1 =2＞0，所以系统不稳定。
9.给定系统的传递函数为试确定状态反馈控制律，使闭环极点为-2，-4，-7。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：系统可控，可控标准型为设状态反馈矩阵k=(k 0 k 1 k 2 )则状态反馈系统特征方程为期望系统的特征方程为(λ+2)(λ+4)(λ+7)=λ2 +3λ2 +50λ+56比较两个特征方程，由同幂项系数相同，得因此满足系统要求的状态反馈阵为k=(56 18 1)10.给定系统的状态空间表达式为y(t)=[2 -1]x(t)设计一个具有特征值为-10，-10的全维状态观测器。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设计全维状态观测器：观测器的期望特征多项式为λ*(s)=(s+10)(s+10)=s 2 +20s+100与期望特征多项式比较，得所以11.给定系统的传递函数为试问能否用状态反馈将函数变为（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：原系统写成可控标准型，即y=(-2 1 1)x假设可以实现期望的系统，设状态反馈阵为k=(k 0 k 1 k 2 )则状态反馈特征方程为期望系统所以期望的特征方程为f*(s)=s 2 +7s 2 +16s+12比较两特征方程，得状态反馈阵为k=(18 21 5)所以可以用状态反馈实现G k (s)。
状态反馈为u=-(18 21 5)x12.已知x(0)=0，x(1)=1，试求使泛函J取极值的轨迹x*(t)，并判别泛函极值的性质(极大/极小值)。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：构造拉格朗日函数根据欧拉方程，得即，则x=t 3 +at+b由边界条件x(0)=0，x(1)=1，得x*=t 3。
此时泛函极值为最小值。
13.，x(0)=3，x(2)=0，求u*(t)使（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：构造拉格朗日函数由欧拉方程，得即2u+λ=0，-λ+λ=0所以又x(0)=3，x(2)=0，得14.，x 1 (2)=0，求u*(t)使（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：构造哈密顿函数协态方程为故λ1 (t)=a，λ2 (t)=-at+b控制方程为u 1 (t)=-a即u 2 (t)=at-b由状态方程，得所以解得c=d=1又Ψ=x 2 (t f )，由横截条件，得λ1 (2)=γ，λ2 (2)=0即2a=b联解，得所以，x( 0 )=1，x(t f )=0，求u*(t)使（分数：8.00）4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：构造哈密顿函数协态方程为即λ(t)=a控制方程为即u=-a状态方程为即x=-at+b又x(0)=1，故b=1，又x(tf)=0，，则当时，J最小，则4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题，得u=-0，x=-at+1，当时，J最小，则15.，x(0)=1，求及u*(t)使为最小。
（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：构造哈密顿函数协态方程为得λ=-t+b控制方程为得u=t-b状态方程为得又Φ=0，Ψ=0，由横截条件，得λ(t f )=0，t f =b所以当b=2时，J最小，则，u*(t)=t-216.，x(0)=x 0，0≤u≤1，求u*(t)使（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：构造哈密顿函数要使H极大，则由协态方程由横截条件，得λ(t f )=0C=-10e -100≤t≤100，λ≥0所以u*(t)=117.，x(0)=1，|u|≤1，求u*(t)使（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：构造哈密顿函数要使H极小，则协态方程为由横截条件，得λf =0所以当时，t=1-ln2，故18.，x(0)=5，0≤u≤2，求u*(t)使α≥0)为极大。