作用于小面元上的外力为△f，则应力定义
为
Pn
li
nf s
df ds
因此应力的数学定义为：单位横截面上 所产生的内聚力称为应力。
根据力的分解定理，可以将力分解成 垂直于单元面积的应力—法向应力; 相切于单元面积的应力—切向应力（剪 切应力）。
正应力 x ，y，z 使介质产生纵 波;切应力xy,xz, yz; ij 使介质产生横波,下脚标 i表示 应力方向，j表示应力作用于垂直
设一物体，受到静水柱压力p 的作用，产 生体积形变，△v/v, 其中v是物体的原体 积， △v 是体积变化量。但形状未发生变 化。则这种情况下的应力与应变的比称为 体变模量。
K p v/ v
指物体受剪切应力作用，并发生形状 变化时，应力与应变之比。
如图所示，受剪切力为xy , 切变角为， 则剪切模量为
同样，若对(1.1.7)式两边取旋度， 并令=rotU ,可得方程
2t 2 2rotF (119)
令
vs2
(1110)
• （1-1-9）式可写成
2 t 2v2s 2rotF (119')
rotF代表旋转力，该式描述了在只有旋转力 作用时，弹性介质只产生与形变有关的扰动， (1-1-9)式为用位移表示的横波波动方程，式 中vs为横波传播速度。
若矢量位 (x,y)
则（1-1-13）可写成标量方程
2 x
t2
v 2s 2 x
x
2 y
t2
vs2 2 y
y
(1-1-13’)
式(1-1-12)、(1-1-13)是标量位函数表示的三 分量标量波动方程，(1-1-12)式是纵波标量波 动方程，(1-1-13’)式是标量横波波动方程。
在以上传播方程中，当速度v p、vs分别
应力与应变成正比关系的物体叫完 全弹性体，虎克定律表示了应力与应 变之间的线性关系。
对于一维弹性体，虎克定律为F=kx
对于三维弹性体，用广义虎克定律表示 应力与应变之间的关系。
（二）弹性模量（弹性参数）
1. 杨氏弹性模量（E）
E表示膨胀或压缩情况下应力与应变的 关系，所以又叫压缩模量。
数学定义：物体受胀缩力时应力与应变之比。 设沿x方向受应力为 f/s ,产生的应变为 △L/L, 则 杨氏弹性模量
E f /s L / L
物理定义：杨氏弹性模量表示固体对所受作用 力的阻力的度量。
固体介质对拉伸力的阻力越大，则 杨氏弹性模量越大，物体越不易变 形；反过来说，坚硬的不易变形的 物体，杨氏弹性模量大。
在拉伸变形中，物体的伸长总是伴 随着垂直方向的收缩，所以把介质横 向应变与纵向应变之比称泊松比，
d / d
L / L
式中加负号表示纵向拉长总是伴随着横 向缩短，为使泊松比为正，要加负号。
显然泊松比是表示物体变形性质的一 个参数，如果介质坚硬，，在同样作用 力下，横向应变小，泊松比就小，可小 到0.05 。而对于软的未胶结的土或流体， 泊松比可高达0.45-0.5。一般岩石的泊 松比为0.25左右。
• 为使纵、横波方程简单化，可进一步用 位函数表达纵、横波方程。
• 已知U和F是矢量，根据亥姆霍兹定 理:任一矢量函数U,若它的散度和旋度 有意义，则该矢量场可分解为一个无旋 部分和有旋部分之和，即
UUp Us
FFp
Fs
(1111)
并且总可以找到一个标量位和矢量位使 下式成立
UU pU sgradrot
2 U ()g r a dF 2 tU 2 ( 1 1 7 )
❖ 该式称为矢量弹性波方程，式中矢量U表示 介质质点受外力(F)作用后的位移，称为位 移矢量，U=U（u,v,w）,u,v,w为三个坐标 轴的位移分量。矢量F表示对介质的外力， 称为力矢量，
F=F(Fx,Fy,Fz), Fx,Fy,Fz为三个力分量。 标量:为体变系数，它与位移满足以下关系
v=v0(1+z) 叫线性连续介质。
（一）应力与应变 应力：弹性体受力后产生的恢复原来
形状的内力称内应力，简称为应力。应 力和外力相抗衡，阻止弹性体的形变。
对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体，设作
用于s面上的法向应力为N，若力f在s面上
均匀分布，则应力pn定义为
Pn=f/s （1.1—1）
若外力f非均匀分布，则可以取一小面元△S,
= xy /
弹性模量是阻止剪切应变的度量。液体 的=0，因此没有抗剪切能力。液体内 也不会产生横波。
5. 拉梅常数（）
表示横向拉应力与纵向应变之比.五个弹 性常数E, k ,, ,,中的任一个，均可用 其余两个常数表示，常见关系如下：
E 9k ; K E
;
3k
3(1 2)
E ; 3K 2 ;
为常数，则表示均匀、各向同性、理想弹性
介质中波的传播规律。
对各向异性、粘弹性介质以及双 相介质模型的波传播方程需要重 新建立。
假设地震波在完全弹性和各向同性的 均匀介质中传播，地层介质受力后发生 小形变，在远离震源处，震源作用已全 部结束。这时纵波和横波位移位所满足 的波动方程为:
2 t2 v2p20 2t 2 v2s20
第一节 弹性介质与地震波 一、弹性介质
地震勘探中将地层叫做介质。地震 勘探的地球物理前提是岩矿石间的弹性差 异，因此需要研究地层介质的弹性性质。
。
人工激震后，岩石附近的质点发生破碎， 介质产生的是塑性形变；远离震源的介 质质点会发生振动，发生体积和形状的 变化，但由于受到的作用力极小，且作 用时间极短，随着外力的消失而消失， 岩层的这种随外力消失而恢复原形的形 变称为弹性形变
弹性介质
产生弹性形变的介质叫弹性介质。 在弹性介质内传播的地震波称地震弹性波。 研究地震弹性波可用弹性波理论，如虎克
定律等。 （一）各向同性介质和各向异性介质
将速度v是空间连续变化函数的介质定 义为连续介质。连续介质是层状介质的 一种极限情况。即当层状介质的层数无 限增加， 每层厚度无限减小，层状介质 就过渡为连续介质，如
对(1-1-7)式两边取散度(div)，可得方程
2 t2 2 2divF (118)
vp2
2
(119)
（1-1-8）式可写成
2 t2v2p 2divF (118')
divF代表胀缩力，该式描述了在只有胀缩 力的作用时，弹性介质只产生与体变系数 有关的扰动，称(1-1-8’)式为用位移表示 的纵波波动方程，式中vp为纵波传播速度。
FF pF sgrad rot
(1111')
代表位移场的标量位， 代表位移场的矢量位; 代表标量力位， 代表矢量力位。 将（1-1-11）式分别代入纵波波动方程 （1-1-8）和横波方程(1-1-9),
得到用位函数表示的纵、横波波动方程
2 t 2v2p2 (1112)
2 t 2 v2s2 (1113)
2(1 )
6K 2
三、均匀、各向同性、理想 弹性介质中的三维波动方程
• 在不同的介质模型中，地震波传播有不 同的规律，各种不同的传播规律需用不 同的传播方程描述。一般介质模型越复 杂，描述地震波传播的方程就越复杂。
均匀、各向同性、理想弹性介质是一种 最简单的介质模型。
一、弹性波传播方程
根据固体弹性动力学理论，地震波 在均匀、各向同性、理想弹性介质中传 播满足以下偏微分方程
(1114) (1115)
问题与答案
于j轴的平面。
物理定义：弹性体受应力作用，产生的体积和 形状的变化称为应变。只发生体积变化而形状 不变的应变称正应变；反之，只发生形状变化 的应变称为切应变。 数学定义：弹性理论中，将单位长度所产生的 形变称应变。
例如，柱体原长为L ,长度的变化量位 △L, 则应变等于△L/L
3. 应力与应变的关系
divUuvw
x y z
式（1-1-7）的分量式为如下形式
2u (
)
x
Fx
Байду номын сангаас
2u t 2
2v (
)
y
Fy
2v t 2
2w( )
z
Fz
2w t2
二、纵、横波波动方程
在弹性波方程中，外力F既包含胀缩力 (正压力)，也包含旋转力(剪切力)，位 移U也包含体变和形变两部分。若对弹性 波方程(1-1-7)式两边取散度或取旋度， 就可将弹性波方程分离为纵、横波方程。