专题8.3 简单几何的表面积与体积运用一 体积【例1】（1）（2019·北京高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( )A.2B.3C.4D.6（2）（2019·云南省玉溪第一中学高二月考）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）B.D.（3）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A.1123B.1363C.48D.56【答案】（1）B （2）A （3）C 【解析】（1）因为AB AC ⊥，所以322ABCAB AC S ⋅==； 所以11113232ABC A B C ABC V SAA -=⨯=⨯=，故选：B.（2）由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为()122+=，高为2，因此，这个四棱锥的体积为123=，故选：A.（3）根据三视图知，该几何体是平放的四棱柱，如图所示，且该四棱柱的底面为等腰梯形， 棱柱的高为4，它的体积为()12444482V Sh ==⨯+⨯⨯=．故选：C ．【举一反三】1．（2019·北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．22π B ．2πC ．22π D ．23π【答案】A【解析】底面圆周长22l r ππ==，1r = ，2S r ππ==所以222V Sh πππ==⨯= 故选：A2．（2019·河北高三月考（理））圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ）A B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，则4rl ππ=，1r =，所以h =.答案选A3．设正六棱锥的底面边长为1 ）A. C. D.2【答案】B【解析】由底面边长为12h ==.又因为底面积16222S =⨯⨯=112332V Sh ==⨯⨯=故选B.4．已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）．A ．14πB ．143πC ．3D ．【答案】C【解析】依题意知圆台上底面半径为1r = ，下底面半径为2R =如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD ，其小扇形弧长2AD π=，大扇形弧长4BC π=， 由2BC AD=知道OA AB l == ，则圆台的侧面积11622S BC OB AD OA π=-=2l ⇒= 所以高h =圆台的体积221()3V h r rR R π=++= 故选C 5．（2019·四川绵阳中学高一月考）圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ） A.40π B.52πC.50πD.2123π 【答案】B【解析】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ， 则624EC =-=由5CD =故3DE =即圆台的高为3,所以圆台的体积为2213(26523V πππ=⋅⋅⋅+⋅+=.故选：B ． 运用二 表面积【例2】(1)（2019·山西高二月考（文））已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A.27πB.36πC.54πD.81π(2)（2019·福建高三月考（文））《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．6+(3)（2019·安徽高二期末（文））如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ）A ．16+B ．16+C ．12+D ．12+【答案】(1)B(2)D(3)D【解析】(1)设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．(2),斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+故选：D ． (3)由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面是矩形，AD ＝4，AB ＝2，四棱锥的高为2．则其表面积为S 111424222412222=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+．故选：D ． 【举一反三】1．（2019·湖南高一期末）已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为（ ） A.14B.12C.23D.45【答案】C【解析】设圆柱底面圆的半径为r ，则高2h r =，该圆柱的侧面积为224r h r ππ⋅=，表面积为222426r r r πππ+=，故该圆柱的侧面积与表面积的比值为224263r r ππ=. 2．（2019·湖南高三期末（文））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5【答案】A【解析】1234511122222S S S S S S =++++=++++=+ 故答案选A 3．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）A 倍B ．3倍C ．2倍D ．5倍【答案】C【解析】由题意可知，如下图所示，设OC r =，则2AC r =所以圆锥的底面积为21S r π=，圆锥的侧面积为()2212222S r r r ππ=⋅= 即圆锥的侧面积是底面积的22212=2S r S rππ=倍故答案选C 运用三 球【例3】(1)由球O 的球面上一点P 作球的两两互相垂直的三条弦PA ，PB ，PC ．已知3cm PA =，PB =，PC =，求球O 的表面积和体积．(2)（2019·四川石室中学高三月考（文））已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为__________.(3)正方体的外接球与内切球的半径之比为（ ） ABC ．2:1D ．3:1【答案】(1)()236cmπ,()336cm π(2)254π(3)B 【解析】(1)以点P 为一个顶点，PA ，PB ，PC 为三条相邻棱，构造长方体PADB CEFG -．由于点P ，A ，B ，C 都在球O 的球面上，显然长方体PADB CEFG -内接于球O ，其对角线PF 长就是球O 的直径，所以()26cm R ==，3cm R =．()22436cm S R ππ∴==球，()33436cm 3V R ππ==球．(2)由圆锥体积为23π，其底面半径为1，设圆锥高为h则221133h ππ=⨯⨯，可求得2h = 设球半径为R ，可得方程：()2221R R --=，解得：54R =25254=164S ππ∴=⨯本题正确结果：254π(3)设正方体的边长为1，画出图像如下图所示，设O 为正方体体对角线的交点，1O 为上底ABCD 的中心，所以正方体外接球的半径为12AC OA ===，正方体内切球的半径为111122OO CC ==，故正方体的外接球与内切球的半径之比为1:22=，故选B.【举一反三】1．已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： （1）圆锥的侧面积． （2）圆锥内切球的体积．【答案】（1）侧面积96S π=；（2）2563V π=【解析】(1)作出轴截面, 如下图所示：则等腰三角形CAB 内接于圆O ,而圆1O 内切于CAB ∆,设圆O 的半径为R ,由题意,得349723R ππ=,3729R ∴=, 918R CE =∴=; 已知162CD ED =∴=,连接AE ,CE 是直径,CA AE ∴⊥,21816288CA CD CE =⋅=⨯=,CA ∴=,AB CD ⊥, ,216232AD CD DE ∴=⋅=⨯=,AD ∴=,所以圆锥的侧面积96S AD CA πππ=⨯⨯=⨯=; (2)设圆锥的内切球1O 的半径为r ,也即CAB ∆的内切圆的半径为r ，ABC ∆的周长为c ==,111622ABC S AB CD ∆∴=⨯⨯=⨯=,又三角形的面积12ABC S c r ∆=⨯⨯，所以12r ⨯= 4r ∴=;∴圆锥的内切球1O 的体积3425633V r ππ==.2．（2019·广东实验中学高三月考（理））三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，120C ∠=，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】20π【解析】由题意，由余弦定理2221AB =2+2-222-2⎛⎫⨯⨯⨯∴ ⎪⎝⎭，ABC 的外接圆半径21,R R =∴=等边三角形PAB 的高为3，设球的半径为,r 球心到底面的距离为x ，则22222r 2x 13x =+=+-（），所以x 1=，所以该三棱锥的外接球的表面积为24r 20ππ=． 故答案为：20π．3．已知棱长为a 的正方体，甲球是正方体的内切球，乙球是正方体的外接球，丙球与正方体的各棱都相切，则甲、乙、丙三球的表面积之比为（ ）．A ．91:3:4B ．1:3:2C ．D ．31:2【答案】B【解析】由已知得甲球是正方体的内切球，示意图如下图1，从中截面可以看出甲球的直径等于正方体的棱长，设甲球的半径为1R ，则12R a =，所以12a R =，所以甲球的表面积为22211442a S R a πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； 乙球是正方体的外接球，示意图如下图2, 从中截面可以看出乙球的直径等于正方体的体对角线长，设乙球的半径为2R ，则22R ==，所以2R =，所以乙球的表面积为222224432S R aπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭；丙球与正方体的各条棱相切，示意图如下图3, 从中截面可以看出丙球的直径等于正方体的面对角线长，设丙球的半径为3R，则32R==，所以32R=，所以丙球的表面积为222334422S R aπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭；所以()()()222123:::3:21:3:2S S S a a aπππ==，故选：B.1．（2019·四川棠湖中学高二月考）一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：6【答案】A【解析】由题意可知：几何体被平面ABCD 平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：121222⨯⨯⨯=； 下部为：22226⨯⨯-=，截去部分与剩余部分体积的比为：13．故选：A ． 2．（2019·全国高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.23B.43C.83D.163【答案】C【解析】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD - ， 它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又2ABCD S ==矩形，P 到底面ABCD ，故1833V =⨯=， 故选C.3．（2019·天水市第一中学高三月考（理））已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.36π+B.66π+C.312π+D.12【答案】A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为211113433436,4332V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选A.4．（2019·安徽省泗县第一中学高二期末（文））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】B【解析】根据三视图可得出该几何体为底面为直角梯形的直棱柱，底面积1(23)252S =⨯+⨯=，故该几何体的体积5315V =⨯=，故选：B ．5（2019·广东高一期末）已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36π，则该圆柱的体积为 A.27π B.36πC.54πD.81π【答案】C【解析】设圆柱的底面半径r .因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r 因为该圆柱的侧面积为36π，所以2236r r ππ⨯=，解得3r =， 故该圆柱的体积为2232354r h πππ=⨯⨯⨯=.故答案选C6．（2019·江西上高二中高二月考（理））圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ） A ．10π B ．12πC ．16πD ．18π【答案】B【解析】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为12442l ππ=⨯⨯=，即圆锥的底面周长为4π， 设圆锥的底面半径是r ，则得到24r ππ=，解得2r，这个圆锥的底面半径是2，∴圆锥的表面积为242212S πππ=⋅⋅+⋅=．故选：B ．7．（2019·江苏高一期末）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，则此圆锥的侧面积为（ ）A. B.2πD.π【答案】B【解析】由于圆锥的底面半径1r =，母线与底面所成的角为3π， 所以母线长121cos32r l π=== ，故圆锥的侧面积=2S rl ππ=；故答案选B 8．（2019·河北高一月考）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）A．6:1):4+ B．64 C．5:1):4+D．5:4【答案】A【解析】设球的半径为R ，圆柱的表面积2221S 246R R R πππ=+=。