2 2 Y Y Y
2
2
Y
Y
Y
2
Y
Y
Y
2
⎪ ⎩
Y
RY (m ) = RY (− m )
Y
Y
并根据这三个值与递推关系得 R y (m ) = 2)
a b2 。 1− a2
m
对 y (n ) − ay (n − 1) = bx(n ) 两边作 Fourier 变换，有 Y (Ω ) 1 − ae
(
− jΩ
证明： 对 y (t ) = x(t ) + x(t − T ) 两 边 作 Fourier 变 换 ， 可 得 Y (ω ) = X (ω ) + X (ω )e
− jωT
，则
H ( jω ) =
Y (ω ) 2 = 1 + e − jωT ， H ( jw) = 1 + e − jωT X (ω )
=
m = −∞ l = −∞ 3
∑
2
∞
∑ h(m )h(l )E{n(k1 − m)n(k 2 − l )}=
3
∞
m = −∞ l = −∞ 3
∑ ∑ h(m)h(l )R (k
n 3 m =0 m =0
∞
∞
1
− k2 − m +− k 2 − m + l ) ，即 R y (τ ) = σ n2 ∑∑δ (τ − m + l ) ，可得
=
m = −∞
∑ h(m)Rn (k1 , k 2 − m) = σ n2
2
∞
m = −∞
∑ h(m)δ (k
∞
1
− k2 + m)
= σ n (δ (k1 − k 2 ) + δ (k1 − k 2 + 1) + δ (k1 − k 2 + 2 ) + δ (k1 − k 2 + 3)) ,
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2
1 − (a + b )e
1
− jΩ
+ abe − j 2 Ω
，可得
{z (n )}的功率谱密度函数为 S x (Ω ) = H ( jΩ ) 2 S x (Ω ) =
1 − (a + b )e − jΩ + abe − j 2 Ω
σ x2
2
。
) = bX (Ω) ，
可得 H ( jΩ ) =
Y (Ω ) b b2 − jΩ 2 ( ) ( ) Ω = 1 − Ω = ，则 ( ) 。 = S H ae S Y x 2 X (Ω ) 1 − ae − jΩ 1 − ae − jΩ
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解： 1)
(1 + a )R (m) − aR (m − 1) − aR (m + 1) = b δ (m) ，则有 ⎧ (1 + a )R (0 ) − aR (− 1) − aR (1) = b ⎪ ⎪ (1 + a )R (1) − aR (0 ) − aR (2 ) = 0 ，由方程组可求得 R(0 ) ， R (1) 与 R (2 ) ， ⎨ ⎪(1 + a )R (− 1) − aR (− 2 ) − aR (1) = 0
即 Rny (τ ) = σ n
2
∑ δ (τ + i ) ，同理可得 R yn (τ ) = σ n2 ∑ δ (τ − i ) 。
i =0 i =0
3
3
3)
∞ ⎧ ∞ ⎫ R y (k1 , k 2 ) = E{y (k1 ), y (k 2 )} = E ⎨ ∑ h(m )n(k1 − m ) ∑ h(l )n(k 2 − l )⎬ l = −∞ ⎩m=−∞ ⎭
x (t )
h1 ( t )
y (t )
h2 ( t )
z (t )
解： 1) 由 h1 (n ) = a u (n ) ⇒ y (n ) = ay (n − 1) + x(n ) ，
n
以及 h2 (n ) = b u (n ) ⇒ z (n ) = bz (n − 1) + y (n ) ，
n
得 z (n ) − (a + b )z (n − 1) + abz (n − 2 ) = x(n ) ，
噪声序列 E{n(k )} = 0 ，故 E{y (k )} = 0 。 2)
∞ ∞ ⎧ ⎫ Rny (k1 , k 2 ) = E{n(k1 ) y (k 2 )} = E ⎨n(k1 ) ∑ h(m )n(k 2 − m )⎬ = ∑ h(m )E{n(k1 )n(k 2 − m )} m = −∞ ⎩ ⎭ m=−∞
{y(n )}的自相关函数； {y(n )}的功率谱密度。
S x (ω ) = 1 ⇒ Rx (m ) = δ (m ) ，将 y (n ) − ay (n − 1) 与 y (n − m ) − ay (n − m − 1) 相乘， E{[ y (n ) − ay (n − 1)][ y (n − m ) − ay (n − m − 1)]} = E {b 2 x(n )x(n − m )}，则可得：
2
2
= 2(1 + cos ωT ) ，由输入输出关系式可
得 S y (ω ) = H ( jω ) S x (ω ) = 2(1 + cos ωT )S x (ω ) ，得证。 2. 均值为零、 方差为 σ n 的白噪声序列 {n(k )} 通过冲激响应为 h(k ) = ⎨
2
⎧1, k = 0,1,2,3 的线 其他 ⎩0,
性时不变系统，输出为 {y (k )} ，求 1) 2) 3) 解： 1)
∞ ⎧ ∞ ⎫ E{y (k )} = E{h(k ) ∗ n(k )} = E ⎨ ∑ h(m )n(k − m )⎬ = ∑ h(m )E{n(k − m )} , 由于白 ⎩m=−∞ ⎭ m=−∞
{y(k )} 的均值； {y(k )} 与 {n(k )} 的互相关函数； {y(k )} 的自相关函数。
4.
均值为零、方差为 σ x 的白噪声序列 {x(n )} 通过图中的离散系统，其中 h1 (n ) = a u (n ) ，
2
n
h2 (n ) = b n u (n ) 且 a < 1 和 b < 1 ，输出为 {z (n )}，求
1) 2)
{z (n )}的自相关函数； {z (n )}的功率谱密度函数。
2
推条件： R z (m ) = σ x h(− m ) + (a + b )Rz (m − 1) − abRz (m − 2 ) ，由递推条件以及对称关 系 R z (m ) = R z (− m ) 可得 Rz (m ) 的显式表示，方法同上题。 2) 由 S x (Ω ) = σ x 及 H ( jΩ ) =
H ( jΩ ) =
1 − (a + b )e
1
− jΩ
+ abe
− j 2Ω
=
(1 − ae )(
− jΩ
1 1 ⎛ a b ⎞ = − ⎜ − jΩ − jΩ − jΩ ⎟ a − b ⎝ 1 − ae 1 − be 1 − be ⎠
)
则可知 h(n ) =
a n b n a u (n ) − b u (n ) ，又此系统属于 AR 模型，则 Rz (m ) 满足递 a −b a −b
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1.
平稳随机过程 {x(t )}通过如图所示的系统后的输出为 {y (t )} ，证明 {y (t )} 的功率谱密度 函数 S y (ω ) = 2 S x (w)(1 + cos ωT ) 。
x(t )
时延 T
y (t ) = x(t ) + x(t − T )
m =0 l =0
2 (δ (τ − 3) + 2δ (τ − 2) + 3δ (τ − 1) + 4δ (τ ) + 3δ (τ + 1) + 2δ (τ + 2) + δ (τ + 3)) R y (τ ) = σ n
3.
其中 a ， b 线性时不变系统输入 {x(n )} 与输出 {y (n )}的关系为 y (n ) = ay (n − 1) + bx(n ) ， 为常数，这是一个 AR 模型，若 {x(n )} 是功率谱密度函数为 S x (ω ) = 1 的平稳随机过程， 求 1) 2)