1 ejt e jt estdt 0 2j
1 1
1

2j

s

j

s

j


s2
2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
(t)
函数的表达式为
O
t

(t)



0
t0 t0
且

(t)dt 1

1 e stdt 1 e st
0
s
0


1 [0 s
1]

1 s
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第二章 控制系统的数学模型
2.单位斜坡函数
f(t)
数学表达式为
t t ≥0
f
(t
)

t

1(t
)


0
其拉氏变换为
t0
O
斜 率 =1
t
F (s) [L f (t )] f (t )estdt t estdt
此时，
d ƒs
dt
即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复 数域中乘以s的运算。
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第二章 控制系统的数学模型
3.积分定理
设F(s)=L
[f(t)]
，则有
L
f
(1) (t )

1 F(s) s
1 s
f (1) (0)
当 f (n)(0) L f (1)(0) 时的积分法则：
L
f
(n) (t )

1 sn
F(s)
即零初始条件下，时域中的积分运算对等于复 数域中除以s的运算。
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第二章 控制系统的数学模型
4. 初值定理 若f(t)及其一阶导数都可拉氏变换的，则其初值
lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.微分定理
设F(s)=L [ f (t)]，则有
一阶微分： L f (t) sF(s) f (0)
二阶微分： L f (t) s2F(s) sf (0) f (0)
三阶微分： L f (t) s3F(s) s2 f (0) sf (0) f (0)
5. 终值定理
若F(s)=L[f(t)]，且当t时，f(t)存在一个确定的
值（即f(t)及其一阶导数都可拉氏变换），则其 终值
f (t ) 1 j F (s)estds
2 j j
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第二章 控制系统的数学模型
二、几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数1(t)
f(t)
数学表达式为
1
1 t ≥ 0
f
(t)

1(t
)


0
t0
O
t
其拉氏变换为
F (s) L [ f (t )] f (t )estdt 0
eat
eate stdt
0
e(sa)tdt 1
0
sa
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第二章 控制系统的数学模型
5.正弦函数sint
正弦函数定义为
sin
t

sint

0
t≥0 t0
其拉氏变换为
F (s) L [sint] sintestdt 0
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并 用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
•常见的数学模型
时域数学模型：微（差）分方程、状态方程； 复数域数学模型：传递函数、结构图、信号流图； 频域数学模型：频率特性。 其中结构图、信号流图是图形化的数学模型。
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第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉氏变换

其拉氏变换为
F (s) [L (t)]


(t )estdt

1
0
拉氏变换的积分下限
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第二章 控制系统的数学模型
三、拉氏变换定理
1.线性性质
设F1(s)=L [ f1(t)]，F2(s)=L [ f2(t)]，a和b为常
数，则有
L[af1(t ) bf2(t )] aF1(s) bF2(s)
F (s) f (t)e-stdt 0
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第二章 控制系统的数学模型
称其为函数f(t)的拉普拉斯变换，并记作
F (s) L[Lf (t)]
F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函
数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换， 记作
f (t ) L1[F (s)]
0
02


1 s

1 2
t
2e
st
0

0
t

e
st
dt



1 s
0 0
1 s2


1 s3
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第二章 控制系统的数学模型
4.指数函数e-at 数学表达式为
eat f (t)
0
其拉氏变换为
t ≥ 0(a为实数) t0
F (s) L
t域
s域
微分方程 初始条件
拉氏变换
代数方程
方程的解
方程的解
拉氏反变换
用拉氏变换解微分方程示意图
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第二章 控制系统的数学模型
一、 拉氏变换的定义
1. 定义
设函数f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分
f (t)e stdt (s j为复变量) 0
存在，则由此积分所确定的函数可写为
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式
静态数学模型：在静态条件下/平衡条件下（即 变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。
动态数学模型：描述变量及其各阶导数之间关系 的数学模型。
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理化学定律列写运动 方程
实验法（系统辨识法）
其中f(0), f(0), …为f(t)及其各阶导数在
t=0处的值。 L f n(t) ?
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第二章 控制系统的数学模型
当 f (0) f (0) f (0) L f (n1)(0) 0 时的微分法则：
L[ f (n) (t )] snF (s)
0
0


1 s

te
st
0

0
e stdt



1 s
0

0

1 s

1 s2
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ห้องสมุดไป่ตู้
第二章 控制系统的数学模型
3.等加速函数
f(t)
数学表达式为
f
(t
)


1 2
t
2
t≥0
0 t 0
其拉氏变换为
O
t
F (s) L [ f (t )] f (t )estdt 1 t 2 estdt