诚成教育教师一对一讲义
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运动的合成与分解
一、设v 水为水流速度，v 船为船相对静水速度,θ为v 船与河岸的夹角,d 为河宽，船的实际运动分解为两个方向处理。

二、小船渡河问题的分析与求解方法：
小船渡河问题可以分为四类，即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移最短和躲避障碍四类，考查最多的仍是过河最短时间和最短位移两类。

1、若Vc>Vs ，小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图1所示：此时过河时间。

2、若Vc<Vs ，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图2所示：最短位移为L V V L s c s ==
θcos
3、若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图所示：此时过河时间 （d 为河宽），此时小船一定在对岸下游处靠岸。

V s V c θ 图2 V α
A
B E
三、典型题
例题1．如图4-2，河宽d ，水流速度V 1。

船在静水中速度V 2，且V 1＜V 2，如果小船航向与河岸成θ角斜向上游，求
(1)它渡河需要多少时间；
(2)如果要以最短时间渡河，船头应指向何方？此时渡河位移多少；
(3)要以最短位移渡河，船头又指向何方？此时渡河时间是多少？
变式1、小船在200m 宽的河中横渡，水流速度为2m/s ，船在静水中的航速是4m/s ，求：
（1）怎样渡河时间最短？最短时间多少？此时渡河位移？
（2）怎样渡河位移最小？此时渡河时间？
2、小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后40s 到达对岸下游120m 处，若船头保持与河岸成α角向上游航行，在出发后50s 到达正对岸，求：
（1）水流的速度；
（2）船在静水中的速度；
（3）河的宽度；
（4）船头与河岸的夹角α
3、一条宽度为L 的河，水流速度为V 水，已知船在静水中的速度为V 船，那么：
(1)怎样渡河时间最短？
(2)若V 船﹥V 水，怎样渡河位移最小？
(3)若V 船﹤V 水，怎样渡河船漂下的距离最短？
运动的合成与分解
要注意：①合运动一定是物体的实际运动。

②分运动之间没有相互联系（独立性）。

③合运动和分运动所用的时间相等（同时性）。

④等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律
有完全相同的效果。

⑤合运动和分运动的位移、速度、加速度都遵守平行四边形法则。

例题1．如右图所示汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达某点时，绳子与水平方向恰好成θ角，此时物体M 的速度大小是多少？
θ v 1 v 2 图4-2
图4-4 α
1
v 变式1．如图所示，物体A 和B 的质量均为m ，且分别用轻绳连接跨过定滑轮（不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦）。

当用水平变力F 拉物体B 沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中（ ）
A ．物体A 也做匀速直线运动
B ．绳子拉力始终大于物体A 所受的重力
C ．物体A 的速度小于物体B 的速度
D ．地面对物体B 的支持力逐渐增大
2．如图4-4所示，用绳牵引小船靠岸，若收绳的速度为V 1，在绳与水平方向夹角为α时，船的速度V 为（ ）
A ．1/cos v α
B ．1cos v α
C ．1/sin v α
D ．1sin v α
匀速圆周运动
一、知识点梳理：
1．匀速圆周运动：物体在相等的时间里通过的圆弧长相等，（如机械钟表针尖的运动。

）
2．描述匀速圆周运动快慢的物理量：
（1）线速度：物体通过的圆弧长s 与时间t 的比值。

t
s v =。

当t 很短，s 很短，即为某一时刻的瞬时速度。

线速度其实就是物体做圆周运动的瞬时速度。

当物体做匀速圆周运动时，各个时刻线速度大小相同，而方向时刻在改变。

那么，线速度方向有何特点呢？（切线方向即为此时刻线速度的方向）
方向：沿着圆周各点的切线方向。

如图3。

（2）角速度：半径转过的角度ϑ与所用时间t 的比值。

t ϑ
ω=；单位：rad/s 。

(3)周期（T ）：质点沿圆周运动一周所用的时间。

如：地球公转周期约365天，钟
表秒针周期60s 等，周期长，表示运动慢。

F
3．向心力：物体做匀速圆周运动所需要的力。

r v m r m F 2
2
==ω
二、例题讲解：
例1：在图中，A 、B 为咬合传动的两齿轮，R A =2R B ，则A 、B 两轮边缘上两点的〔 〕
A ．角速度之比为2:1
B ．向心加速度之比为1:2
C ．周期之比为1:2
D ．转速之比为2:1
变式1．如图所示的传动装置中，B 、C 两轮固定在一起，绕同一轴转动，A 、B 两轮用皮带传动，三轮半径关系是r A = r C = 2r B 。

若皮带不打滑，求三轮边缘a 、b 、c 三点的角速度之比和线速度之比。

变式2、 如图7为一皮带传动装置，在传动过程中皮带不打滑。

试比较轮上A 、B 、C 三点的线速度、角速度大小。

例2：如图所示，小球A原来能在光滑的水平面上作匀速圆周运动，若剪断B、C之间的细绳，A球重新达到稳定状态后，A球的〔〕
A．运动半径变大
B．速度变大
C．角速度变大
D．周期变大
变式1．如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两物体A 和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好没有发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，远离圆心
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会滑动
D．物体A仍随圆盘做匀速圆周运动，物体B沿曲线运动，远离圆心
A B
例3：如图所示，在光滑的水平面上有相距40cm的两根钉子A和B，长1m的细绳一端系着一为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上．开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m／s的速率在水平面上作匀速圆周运动．若细绳能承受的最大拉力是4N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是〔〕
A．0.9πs
B．0.8πs
C．1.2πs
D．1.6πs
变式1：原长20cm的轻质弹簧，劲度系数为200N／m，一端系在水平圆盘的中心O，另一端系一个质量为0.1kg的金属球，摩擦不计．当盘和球一起绕过中心的竖直轴转动时，弹簧伸长5cm，则盘转动的角速度为_______rad／s．
变式2：如图所示，一圆环，若以AB直径为轴作匀速转动，则环上P、Q两点的线速度大小之比υP:υQ为_______．
变式3：如图所示，直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕轴O匀速转动，从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆筒上留下a、b两个弹孔．已知aO与bO夹角为φ了，则子弹的速度为_______
例4：质量为800 kg的小汽车驶过一半径为50m的圆形拱桥，到达桥顶时的速度为5m/s，求此时汽车对桥的压力。

变式1：重25kg的小孩坐在秋千板上，秋千板离拴绳子的横梁2.5m。

如果秋千板摆动经过最低位置时的速度是3m/s，这时秋千板所受的压力多大？（g取10m/s2，秋千板的质量不计。

）
变式2：一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱桥后，接着又通过圆弧形凹地．设两圆弧半径相等，汽车通过桥顶A时，桥面受到的压力N A为车重的一半；汽车在圆弧形凹地最低点B时，对地面的压力为N B，求N A与N B之比．
变式3．一物体沿半径为20cm的轨道做匀速圆周运动，已知线速度为0．2m/s，则它的角速度为___rad/s，周期为___s，向心加速度大小为___m/s2
变式4．长度为0．5m的轻质细杆OA，A端有一质量为 3kg 的木球，以O点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s，取g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是，方向向。