一、填空题（每空1分，共35分） 1、1948年，美国数学家 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

信息论的基础理论是 ，它属于狭义信息论。

2、信号是 的载体，消息是 的载体。

3、某信源有五种符号}{,,,,a b c d e ，先验概率分别为5.0=a P ，25.0=b P ，125.0=c P ，0625.0==e d P P ，则符号“a ”的自信息量为 bit ，此信源的熵为 bit/符号。

4、某离散无记忆信源X ，其概率空间和重量空间分别为1234 0.50.250.1250.125X x x x x P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和12340.5122X x x x x w ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则其信源熵和加权熵分别为 和 。

5、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 ，二是 。

6、平均互信息量与信息熵、联合熵的关系是 。

7、信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为 信道。

8、马尔可夫信源需要满足两个条件：一、 ； 二、 。

9、若某信道矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡010001000001100，则该信道的信道容量C=__________。

10、根据是否允许失真，信源编码可分为 和 。

11、信源编码的概率匹配原则是：概率大的信源符号用 ，概率小的信源符号用 。

（填短码或长码）12、在现代通信系统中，信源编码主要用于解决信息传输中的 性，信道编码主要用于解决信息传输中的 性，保密密编码主要用于解决信息传输中的安全性。

13、差错控制的基本方式大致可以分为 、 和混合纠错。

14、某线性分组码的最小汉明距dmin=4，则该码最多能检测出 个随机错，最多能纠正 个随机错。

15、码字101111101、011111101、100111001之间的最小汉明距离为 。

16、对于密码系统安全性的评价，通常分为 和 两种标准。

17、单密钥体制是指 。

18、现代数据加密体制主要分为 和 两种体制。

19、评价密码体制安全性有不同的途径，包括无条件安全性、和 。

20、时间戳根据产生方式的不同分为两类：即 和 。

二、选择题（每小题1分，共10分） 1、下列不属于消息的是（ ）。

A. 文字B. 信号C. 图像D. 语言2、设有一个无记忆信源发出符号A 和B ，已知4341)(,)(==B p A p ，发出二重符号序列消息的信源，无记忆信源熵)(2X H 为（ ）。

A. 0.81bit/二重符号B. 1.62bit/二重符号C. 0.93 bit/二重符号 D . 1.86 bit/二重符号 3、 同时扔两个正常的骰子，即各面呈现的概率都是1/6，若点数之和为12，则得到的自信息为（ ）。

A. －log36bit B. log36bit C. －log (11/36)bitD. log (11/36)bit4、 二进制通信系统使用符号0和1，由于存在失真，传输时会产生误码，用符号表示下列事件，x0: 发出一个0 、 x1: 发出一个1、 y0 : 收到一个0、 y1: 收到一个1 ，则已知收到的符号，被告知发出的符号能得到的信息量是（ ）。

A. H(X/Y)B. H(Y/X)C. H( X, Y)D. H(XY)5、一个随即变量x 的概率密度函数P(x)= x /2，V 20≤≤x ，则信源的相对熵为（ ）。

A . 0.5bit B. 0.72bit C. 1bit D. 1.44bit 6、 下面哪一项不属于熵的性质：（ ）A ．非负性B ．完备性C ．对称性D ．确定性信息论与编码信息论与编码7、根据树图法构成规则， （ ） A ．在树根上安排码字 B ．在树枝上安排码字 C ．在中间节点上安排码字 D ．在终端节点上安排码字 8、下列组合中不属于即时码的是（ ）。

A. { 0，01，011}B. {0，10，110}C. {00，10，11}D. {1，01，00}9、 已知某（6，3）线性分组码的生成矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110001111010G ，则不用计算就可判断出下列码中不是该码集里的码是（ ）。

A. 000000B. 110001C. 011101D. 11111110、下列保密编码中属于现代密码体制的是（ ）A. 凯撒密码B. Vigenere 密码C. 韦维纳姆密码D. DES 加密算法三、简答题（四小题，共23分）1、请简述现代密码系统应当满足的条件。

(4分)2、请简述连续信源最大熵定理的主要内容。

（6分）3、请解释最小错误概率译码准则，最大似然译码准则和最小距离译码准则的含义，并说明三者的关系。

（5分） 答：4、已知密钥为yes ，请利用多表代换密码中的Vigenere （维吉尼亚）密码原理分别对下列明文和密文进行编码和译码。

明文：A Mathematical Theory of Communication ； 密文：G ee y hgaxgp (需给出码表或编译码过程，8分)四、计算题（四小题，共32分）1、居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身信息论与编码高1.6米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？（5分）2、设离散符号信源为121/43/4x x X P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试求：（1）信源的熵、熵的相对效率以及剩余度； （2）求二次扩展信源的概率空间及其信源熵。

(10分)3、已知6符号离散信源的出现概率为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321321161814121654321a a a a a a ，试写出Huffman 编码的码字并求其平均码长。

（7分）4、已知一个(5, 3)线性分组码C 的生成矩阵为：11001G 011010111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, （1）求系统生成矩阵及校验矩阵；（2）列出C 的信息位与系统码字的映射关系； （3）求收到r =11101时的译码步骤与译码结果。

(10分)2015-2016年第2学期《信息论与编码》期末考试A 卷参考答案一、填空题（每空1分，共35分）1、 香农、香农信息论；2、 消息、信息；3、1、15/8；4、7/4、9/4；5、信源符号间的相关性、信源符号的统计不均匀性； 6、I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)；7、无记忆；8、某一时刻信源符号的输出只与此时刻信源状态有关，与之前的状态和输出符号无关；信源在t 时刻的状态由当前输出符号及t-1时刻信源的状态唯一确定；9、2bit/符号；10、无失真信源编码和限失真信源编码; 11、短码、长码；12、有效性、可靠性；13、前向纠错 、 反馈重发 ；14、3、1；15、2；16、理论保密性、实际保密性； 17、在加密和解密过程中，加、解密密钥相同或从一个容易得出另一个的密码体制； 18、公钥体制、私钥体制；填单钥体制、双钥体制）或（对称加密体制、非对称加密体制）也可； 19、计算安全性、可证明安全性； 20、自建时间戳、具有法律效力的时间戳二、选择题（每小题1分，共10分）B B B AC BD A D D三、简答题（四小题，共23分）1、请简述现代密码系统应当满足的条件。

(4分)答：一个安全的现代密码系统应当满足以下几点要求：(每小点1分) （1） 系统即使达不到理论上不可破译，也应当是实际上不可破译的。

（2） 系统的保密性不依赖于对加密、解密算法和系统的保密，而仅仅依赖于密钥的保密性。

、 （3） 加密、解密算法适用于所有密钥空间的元素。

（4） 加密、解密运算简单快捷，易于实现。

2、请简述连续信源最大熵定理的主要内容。

（6分） 答：连续信源最大熵定理主要内容如下：（每小点2分）（1）峰值功率受限条件下信源的最大熵定理：若某信源输出信号的峰值功率受限，即信号的取值被限定在某一有限范围（假设为[a,b]）内，则在限定的范围内，当输出信号概率密度分布为均匀分布时，该信源具有最大熵，且为log()b a -。

（2）平均功率受限条件下信源的最大熵定理：若某信源输出信号的平均功率和均值被限定，则当其输出信号幅度的概率密度函数是高斯分布时，该信源达到最大熵值，且最大熵值为12log 2ePπ。

（3）均值受限条件下信源的最大熵定理：若某连续信源X 输出非负信号的均值被限定，则其输出信号幅度为指数分布时，信源X 具有最大熵，且其值为log2em 。

3、请解释最小错误概率译码准则，最大似然译码准则和最小距离译码准则的含义，并说明三者的关系。

（5分）答：最小错误概率译码准则下，将接收序列译为后验概率最大时所对应的码字（1分）。

最大似然译码准则下，将接收序列译为信道传递概率最大时所对应的码字。

(1分) 最小距离译码准则下，将接收序列译为与其距离最小的码字。

（1分）三者关系为：输入为等概率分布时，最大似然译码准则等效于最小错误概率译码准则。

（1分）在二元对称无记忆信道中，最小距离译码准则等效于最大似然译码准则。

（1分）4、已知密钥为yes ，请利用多表代换密码中的Vigenere （维吉尼亚）密码原理分别对下列明文和密文进行编码和译码。

明文：A Mathematical Theory of Communication ； 密文：G ee y hgaxgp (需给出码表或编译码过程，8分) 答：我们已知26个字母的排列如下表根据提供的明文，可以得出密文YQSRLWKELGGSJXZCSJWSXASEKYFGGSRMGL,编码过程如下表所示（5分）根据提供的密文，可以得出译码后的明文为:I AM A DOCTOR 。

译码过程如下表所示：(3分) 1、居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？（5分）解：设A 表示“大学生”这一事件，B 表示“身高1.60以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5p(B|A)=0.75 （2分）故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分）I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分） 2、设离散符号信源为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4/34/121x x P X X ，试求：（1）信源的熵、熵的相对效率以及剩余度；（2）求二次扩展信源的概率空间及其信源熵。

（10分） 解：（1）22max 2()1/4log 43/4log (4/3)0.811/()/()()/log 2()81.1% 11()18.9%H X bit H X H X H X H X R H X ηη=+======-=-=符号，（4分）（2）二次扩展信源的概率空间为：（3分）2222()1/16log 163/16log (16/3)3/16log (16/3)9/16log (16/9)2() 1.622/H XX H X bit =+++==符号（3分）3、已知6符号离散信源的出现概率为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321321161814121654321a a a a a a ，试写出Huffman 编码的码字并计算平均码长。