Family Short name Order Nr,Nd r for reconstruction d for decomposition
Biorthogonal bior Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5 Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6, 8 Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5, 7, 9 Nr = 4 , Nd = 4 Nr = 5 , Nd = 5 Nr = 6 , Nd = 8
且
φ (t )
的支撑区间为
[0,2 p − 1] = [0,3]
，
ψ (t )
的支撑区间为
[ − p + 1, p ] = [−1,2] 。
Matlab 中常用的几个函数：
我们可以通过 waveinfo 函数获得工具箱中的小波函数的主要性
质；小波函数 psi 和尺度函数可以通过 wavefun 函数计算，滤波 器可以通过 wfilters 函数产生。
no yes yes possible possible
Support width
2Nr+1 for rec., 2Nd+1 for dec.
% 的支撑宽度依次为 2Nr+1 和 2Nd+1； //尺度函数φ 和 φ 小波ψ
% 的支撑宽度都是 Nr+Nd-1。-注释 和ψ
Filters length bior Nr.Nd
% 和ψ 的消失矩阶数。 注意：Nr,Nd 具有相同的奇偶性。依次为ψ
与我们讲义中的符号稍微不同的是，Matlab 中将 ( h, g ) 理解为分 %, g % 为重构滤波器，相应地，ψ 和ψ % 依次为分解小 解滤波器， h 波和重构小波。
( )
Examples
bior3.1, bior5.5
Orthogonal Biorthogonal Compact support DWT CWT
Haar haar haar is the same as db1 yes
Biorthogonal Compact support DWT CWT
yes yes possible possible
Support width Filters length Regularity Symmetry Number of vanishing moments for psi 2
< φ k , j , φk ,l >= 0 < ψ k , j ,ψ k ,l >= 0
< φ k , j ,ψ k , l >= 0
∀j ≠ l , j , l ∈ Z
∀j, l ∈ Z
则称ψ (t ) 为正交小波，而 h = {hn }称为正交小波滤波器。 （ 2）双正交小波滤波器 若滤波器组 h , g, h, g 满足以下两尺度方程和小波方程：
scaling function phi = 1 on [0 1] and 0 otherwise. wavelet function psi = 1 on [0 0.5[, = -1 on [0.5 1] and 0 otherwise.
Family Short name Examples Orthogonal
bior 3.7 bior 3.9 bior 4.4 bior 5.5 bior 6.8
16 20 9 9 17
4 4 7 11 11
Regularity for psi rec. Symmetry Number of vanishing moments for psi dec. Nr-1 //应该为 Nr -注释 Nr-1 and Nr-2 at the knots yes
1k hN −1 − 2k hN −2 + 3k hN −3 −L + ( N − 1)k h1 − N k h0 = 0
这个结论尚待证明。 我们在 2.4.2 节应用了该结论构造 D4 小波。
D4 是滤波器长度为
４，消失矩阶数为 ２ 的小波，即 p = 2 。
设 h = {h0 , h1 , h2 , h3} ，则由（2.4.5） 、 （2.4.6）及（2.4.8）可知，h 满足如下条件：
在 Matlab 中，输入命令 waveinfo('bior')可以获得 Biorthogonal 函 数的一些主要性质。 waveinfo('bior')
BIORINFO Information on biorthogonal spline wavelets.
Biorthogonal Wavelets
Remark: bior 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction and decomposition functions and filters are close in value.
Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 271-280.
DBINFO Information on Daubechies wavelets.
Daubechies Wavelets
General characteristics: Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are minimum-phase filters.
See Information on reverse biorthogonal spline wavelets.
滤波器可以通过 wfilters 函数产生。
[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]=wfilters('haar') [Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]=wfilters('db1')
∀j ≠ l , j , l ∈ Z
∀j , k , l ∈ Z
~
则称尺度函数 φ , φ 为对偶尺度函数，称小波函数ψ ,ψ 为对偶小波。 称ψ ,ψ 为双正交小波； 滤波器组 h , g, h, g 称为双正交小波滤波器组。 （ 3）消失矩概念的理解 直观理解： 1 阶消失矩，能够使常数函数在一次小波变换后细节函数变 成零。 2 阶消失矩，能够使常数函数与线性函数在一次小波变换后 细节函数都变成零。 3 阶消失矩，能够使常数函数、线性函数和二次函数在一次 小波变换后细节函数变成零。 …………. 在一些参考书中，在构造 Daubechies 紧支撑正交小波时，采 用了以下结论： 对于 p 阶消失矩的 Daubechies 滤波器
在 Matlab 中，输入命令 waveinfo('haar')可以获得 haar 函数的一 些主要性质： waveinfo('haar')
HAARINFO Information on Haar wavelet.
Haar Wavelet
General characteristics: Compactly supported wavelet, the oldest and the simplest wavelet.
General characteristics: Compactly supported biorthogonal spline wavelets for which symmetry and exact reconstruction are possible with FIR filters (in orthogonal case it is impossible except for Haar).
Support width Filters length
2N-1 2N
Regularity Symmetry Number of vanishing moments for psi
about 0.2 N for large N far from
N
Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 194-202.
φ (t ) = ~ φ (t ) = ψ (t) = ~ ψ ( t ) =
~
~
~
2 ∑ h jφ (2t − j )
j
2 ∑ h j φ (2t − j)
j
~
~
2 ∑ g jφ (2t − j)
j
（2.6.4）
2 ∑ g j φ (2t − j)
j
~
几个概念的理解： （ 1） 正交小波 若滤波器 h = {hn }满足如下两尺度方程和小波方程：
φ (t ) = 2
j =−∞ +∞
∑ h φ (பைடு நூலகம்t − j )
j
+∞
ψ (t ) = 2 ∑ g jφ (2t − j)
j =−∞
其中， g j = ( −1) j h1− j ，且ψ (t ) 满足以下条件，
Family Short name Order N Examples
Daubechies db N strictly positive integer db1 or haar, db4, db15
Orthogonal Biorthogonal Compact support DWT CWT
yes yes yes possible possible
1
haar is not continuous yes
1