习题解答（一）1-4 一个由字母A ，B ，C ，D 组成的字。

对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A ，01代替B ，10代替C ，11代替D ，每个脉冲宽度为5ms 。

（1） 不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率；（2） 若每个字母出现的可能性分别为P A =1/5，P B =1/4，P C =1/4，P D =3/10试计算传输的平均信息速率。

)/(5.1981010985.1)/(985.1103log 10341log 4141log 4151log 51)]()[log ()(2)/(20010102/10/52)/(24log log )(1log )1(32222123222s bit t I R bit x P x P x H s bit t I R ms ms t bit M x P I b ni i i b =⨯≈∆=≈----=-==⨯=∆==⨯=∆====-=-∑则：符号）（则：符号）（符号）（间为：传输每个符号占用的时符号解：1-5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示；且划出现的概率是点出现概率的1/3： （1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。

符号））（故。

划出现的概率为，，所以点出现的概率为出现概率的因为划出现的概率是点解：/(81.0241415.0432)(241log log )(415.043log log 4/14/33/1)1(22112222212121bit I P I P H bit P I bit P I P P =⨯+⨯=+==-=-=≈-=-===1-6 设一信息源的输出由128个不同的字符组成。

其中16个出现的概率为1/32，其余112个出现的概率为1/224。

信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。

试计算该信息源的平均信息速率。

1-9 如果二进制独立等概信号，码元宽度为0.5ms ，求R B 和R b ；有四进制信号，码元宽度为0.5ms ，求传码率R B 和独立等概时的传信率R b 。

)/(40004log )(2000105.0112)/(20002log )(2000105.01112443422232s bit R R B T R s bit R R B T R B b b B B b b B ===⨯=====⨯==--）（）解：（3-3 设t X t X t z 0201sin cos )(ωω-=是一随机过程，若X 1和X 2是彼此独立且具有均值为0、方差为σ2的正态随机变量，试求：（1）E [z (t )]、E [z 2(t )]；（2）z (t )的一维分布密度函数f (z ); （3）B(t 1,t 2)与R(t 1,t 2)。

τωστωσωσωωωωωωωωωωωωσσπσσωωσωωωωωωωωωωωω022121212102120220101220102120102220102120220110210121212222221202022022200210221202012020102010201cos ),()]([)]([),(),(cos )](cos[cos sin ][][sin cos ][][sin sin ][cos cos ][)]sin cos )(sin cos [()]()([),(3)2exp(21)()]([)]([)]([0)]([)(20)sin (cos sin ][sin cos ][][2cos ][])sin cos [()]([0sin ][cos ][]sin []cos []sin cos [)]([1==-==-=--+=--==-==-===-+=+-=-==-=-=-=t t R t z E t z E t t R t t B t t t t X E X E t t X E X E t t X E t t X E t X t X t X t X E t z t z E t t R z z f t z E t z E t z D t z E t z X X t t tX E t t X E X E t X E t X t X E t z E t X E t X E t X E t X E t X t X E t z E ）（所以，又也为正态分布，为正态分布，所以、）因为（）解：（3-4 求乘积z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数。

已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为x R (τ)、R Y (τ)。

)()()]()([)]()([)]()()()([)]()([),(212122112121ττY X R R t Y t Y E t X t X E t Y t X t Y t X E t z t z E t t R ====解：3-5 已知随机过程，其中m(t)是广义平稳过程，且其自相关函数为随机变量θ在(0,2π)上服从均匀分布，它与m(t)彼此统计独立。

(1)证明:z(t)是广义平稳的; (2)试画出自相关函数)(t R z 的波形; (3)试求功率谱密度)(f P z 及功率0f解 (1) 欲证随机过程Z(t)广义平稳，只需验证Z(t)的均值与时间无关，自相关函数仅与时间间隔τ有关即可。

=12101202120102012()[()()][()()()()][()()][()()]()z m R E z t z t E m t Cos t m t Cos t E m t m t E Cos t Cos t R Cos τωθωθωθωθτωτ==+•+=++=解：可见，Z(t)的均值与时间t 无关，自相关函数仅与时间间隔τ有关，故Z(t)广义平稳。

图形如下图所示：(3) 因为Z(t)广义平稳，所以其功率谱密度P（ω）⇔z R(τ)。

z由图可见，R(τ)的波形可视为余弦函数与三角波的乘积。

利z用傅里叶变换的频域卷积性质，可得平均功率：3-7 一个均值为a，自相关函数为R(τ)的平稳随机过程xX(t)通过一个线性系统后的输出过程为Y(t)= X(t)+ X(t-T) T为延迟时间（1）试画出该线性系统的方框图；（2）试求Y(t)的自相关函数和功率谱密度。

解： （1）:(2) 根据平稳过程X(t)通过线性系统后的输出过程Y(t)也是平稳的，以及由维纳——辛钦定理可知x R (τ)⇔x P （ω），R Y (τ) ⇔y P （ω）。

t ()[(t)()]{[()()][()()]}2()()()()2()()()2(1cos )()x x x jwT jwT X X X X Y E Y Y t E X t X t T X t X t T R R T R T P P e P e T P τττττττωωωωωω-=+=+-+++-=+-++=++=+Y Y （）的自相关函数为R 功率谱密度为P3-8 将一个均值为0、功率谱密度为n 0/2的高斯白噪声加到一个中心频率为ωc 、带宽为B 的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。

（1）求滤波器输出噪声的自相关函数； （2）写出输出噪声的一维概率密度函数。

图P2-1)2exp(21)()]([0)()0(,0)]([)()2(cos )(cos )(22)]([)(02/)(1020020020010B n x Bn x f B n t n D B n B n R R t n E R B BSa n B BSa n P F R Bn P o no no o no c c no no c no -====-==∞-==∞=⨯==⎩⎨⎧≤±=-πσστωτπτωτπωτωπωωω密度为：故输出噪声的一维概率，所以，。

又，所以输出仍为高斯噪声因为输入是高斯噪声，故其余噪声的功率谱密度为：）经过滤波器后，输出解：（4 -5 某个信息源由A,B,C 和D 等4个符号组成。

设每个符号独立出现，其出现概率分别为1/4,1/4,3/16,5/16，经过信道传输后，每个符号正确接收的概率为1021/1024，错为其他符号的条件概率P(i i y x /)均为1/1024，试求出该信道的容量C 等于多少b/符号。

解因信道噪声而损失的平均信息量为：信源发送的平均信息量为：4-6若习题4—5中的4个符号分别用二进制码组00,01,10,11表示，每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试求出该信道的容量C等于多少b/s。

解因为1个符号的传输时间=10ms，所以每秒传输100个符号。

所以：C=100*1.947=194.7(b/s)t4 -7设一幅黑白数字像片有400万个像素，每个像素有16个亮度等级。

若用3kHz带宽的信道传输它，且信号噪声功率比等于l0dB，试问需要传输多少时间?解由香农公式可得信道的最大信息速率(每秒内能够传输的平均信息量的最大值)为：一张图片所含的平均信息量为：所以，需要的传输时间：5-7设某信道具有双边噪声功率谱密度P n(f)=0.5*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz，而载波为100kHz，已调信号的功率为10kW。

若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过带宽为10kHz的一理想带通滤波器，试问：（1）该理想带通滤波器中心频率和通带宽度为多大？（2）解调器输入端的信噪功率比为多少？（3） 解调器输出端的信噪功率比为多少？（4） 求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图形表示出来。

)/(1025.010525.22)()(25.2414200010002231000101010101010105.02)(22105*22,1001330000000330Hz W B N f P Bf P N W N N DSB N SG N S DSB WkWN S KW Si WB f P N KHzKHz f B kHz f f n n i ii i i n i H c --⨯=⨯⨯==∴====⨯=⋅=∴==∴==⨯⨯⨯⨯=•=======，又：对于）（的调制度增益为）（）（带宽：通带宽度等于已调信号）解：（5-9设某信道具有双边噪声功率谱密度P n (f )=0.5*10-3 W/Hz ，在该信道中传输抑制载波的单边带（上边带）信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5 kHz ，而载波为100 kHz ，已调信号的功率为10 kW 。

若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过带宽为5 kHz 的一理想带通滤波器，试问：（1） 该理想带通滤波器中心频率为多少？ （2） 解调器输入端的信噪功率比为多少？（3） 解调器输出端的信噪功率比为多少？2000200011320005105105.02)(225.102210010510030=⨯=⋅=∴==∴=⨯===+=⎰⎰-+ii i i kkf f f n i H c N S G N S SSB WkW N S Wdf df f P N kHzf f f H c c的调制度增益为）（）（）解：（5－10 某线性调制系统的输出信噪比为20dB ，输出噪声功率为910W -，由发射机输出端到解调器输入端之间总的传输损耗为100dB ，试求：（1）DSB/SC 时的发射机输出功率； （2）SSB/SC 时的发射机输出功率。