yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
沿x轴正 方向传播 u
y
O
P
x
沿x轴负方向传播 u
y
O
P
x
P点落后o点
x u
时间
P点超前o点x
u
时间
Acos
t1
x1
u
y
t1
t x1 ut u
0 u y(t1)
0
o
x
x1 x
在Δt 时间内,整个波形向波的传播方向移动 了 x x2 x1 ut ，波速u 是整个波形向前传 播的速度。
例1 频率为 12.5kHz 的平面余弦波沿细长的
金属棒传播，波速为 5.0103 m / s. 如以棒上某点取为
y
0.1103
cos
25
103
(t
5
1 104
)
m
0.1103
cos
25
103
t
2
m
（4）两点间距离
x 10cm 0.10m
4
相位差
2
y
（5）t
00.1.0100231coss时25的1波03形 (t
5
x 103
)
m
y
0.1103
cos
25
103
(0.0021
x 5 103
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的质点平衡位置用x1和x2表示，
则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y(t1
t)
Acos
t1
t
x2 u
0
令 x2 x1 t ，得
y(t1
y(tt1))AAcocsost1t1t xu1xu200
y(t1 t) Acos
波长、频率、和波速之间的关系
u
T
平面简谐波的波函数
一、波函数（定量描述波在空间的传播）
数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间
变化的关系. (r，t) f (r，t) f (x，y，z，t) 二、平面简谐波的波函数 y
平面简谐波：
波面为平面的简谐波.
x
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简 谐振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们 的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同 一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡 位置有相同的位移。
t = t - x
t = t + x
u
波函数为： y(x,t) Acos[(t
x u
)
Байду номын сангаас
u
0
]
上述过程给出了一个写出简谐波方程的步骤： ⑴ 已知某点的振动方程（不一定是波源）
⑵ 根据波的传播方向，判断各点振动的先后次序,
找出时间差 ( > 0)
⑶ 将时间差 代入已知振动方程，即可得波动方程：
y(x,t) Acos[(t x) ]
（优选）第二节平面简谐波的 波动方程
上页 下页 返回 退出
弹性介质和波源——（机械波产生的条件）
纵波和横波：
(1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播
(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动
(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
x /cm
0.4
t =0
0.5
(4)质点的最大速率
vm
A
A 2
坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为 A 0.1mm， 试求：（1）原点处质点的振动表达式；
（2） 波函数（向右传播）； （3）离原点10cm处质点的振动表达式； （4）离原点20cm和30cm处质点的振动相位差；
（5）在原点振动0.0021s时的波形；
解： 由题意 波长 周期
u 0.40 m
u y(x,t) Acos[(t x) ]
u
(P后振) (P先振)
利用关系式
y(x,t) Acos[(t
2 2 和 uT ，得
x u
)
0
]
波函数其它形式 T
y
A cos
2
(t T
x
)
0
y Acos 2 ( t
x
)
0
y Acos(t
kx 0 )
k 2
y Acos(t
2
x
0
)
角波数 ：表示
单位长 度上波 的相位 变化
波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
Acos t
2 x1
上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定:令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
即
y
A
cos
t1
2 x
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
)
m
0.1103 sin 5 x m
y
0.1103
O
x
0.4
例2一横波沿一弦线传播。设已知t =0时的波形 曲线如下图中的虚线所示。波速u为12m/s，求(1)振 幅；(2)波长；(3)波的周期；(4)弦上任一质点的最大 速率；(5)图中a、b两点的相位差；(6)3T/4时的波形 曲线.（a、b两点的对应的横坐标分别为15和35cm）
T 1 8105 s
（1）原点处质点的振动表达式
y0 A cost 0.1103 cos(25103 t) m
（2）波函数
y Acos(t x)
u
0.1103
cos
25
103
(t
5
x 103
)
m
y
0.1103
cos
25
103
(t
5
x 103
)
m
（3）原点10cm处质点的振动表达式
波动表式：描述介质中各质点的位移随时间的变
化关系.
y
yp
u
P
O
t
x
yP(t)= y0(t)
x
t= t - x u
O点处质点的振动表达式为：
y0 (t ') Acos( t '0 )
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
y0 (t)
=
y0 (t
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
P处质点在时刻t 的位移为：
y /cm
0.5
M1
M2
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70
x /cm
0.4
t =0
0.5
解: 由波形曲线图可看出：
(1) A=0.5cm；
(2) =40cm；
(3)波的周期
y /cm
T
u
0.4 m 12 m s1
1s 30
0.5
M1
M2
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70
它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移
所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
A
x
沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x1 x
y
u
当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
o
x1 x
x
当t2=