预应力混凝土简支梁设计一多层房屋的预应力混凝土屋面梁，构建及截面尺寸如图二所示。

先张法施工时在工地临时台座上进行，在梁的受拉、受压区均采用直径10mm 的热处理45Si2Cr 直线预应力钢筋，分别在梁的受拉、受压区采用锥形锚具一端同时超张拉钢筋，养护时预应力钢筋与张拉台座间温差为25℃，混凝土达到设计强度后放松预应力钢筋，混凝土采用C40，非预应力钢筋采用HPB235钢筋。

现已知该梁为 一般不允许出现裂缝构件，承受均布恒载标准值为mKN g k 6.18=（含自重），均布活载标准值mKNg k 12=，活载准永久值系数5.0=q ψ，按《混凝土结构设计规范（GB50010-2002）》设计该梁。

要求：（1）进行梁的正截面承载力计算，估算纵向预应力钢筋，并根据构造要求估算非预应力钢筋。

（2）计算总预应力损失。

（3）验算梁的正截面承载力计算，确定梁的纵向预应力钢筋和非预应力钢筋。

（4）进行梁的斜截面承载力计算，确定梁的箍筋。

（5）验算梁的使用阶段正截面抗裂能力是否满足要求。

（6）验算梁的使用阶段斜截面抗裂能力是否满足要求。

（7）验算梁的使用阶段挠度是否满足要求。

（8）验算梁在施工阶段及抗裂能力是否满足要求。

设计计算1、计算梁的正截面承载力，估算纵向预应力钢筋，并根据构造要求估算预非应力钢筋。

1）设计计算条件 m l 75.80= m l n 5.8=C40混凝土：2/40mm N f cu = 2/1.19mm N f c = 2/76.1mm N f t = 2/8.26mm N f ck = 2/39.2mm N f tk =mm N E c /1025.34⨯= 0.11=α45Si2Cr 热处理预应力钢筋：2/1470mm N f ptk = 2/1040mm N f py =25/100.2mm N E p ⨯= 2/400mm N f py=' HPB235非预应力钢筋：2/210mm N f y = 2/210mm N f yv = 2/210mm N f y =' 25/101.2mm N E s ⨯= 2） 内力计算 ①跨中最大弯矩：mKN l q g M k k ⋅=⨯⨯+⨯⨯=+=4.37475.8)124.16.182.1(81)4.12.1(8122()m kN l q g M k k k ⋅=⨯+⨯=+=9.29275.8)126.18(8181220()m kN l q g M k q k q ⋅=⨯⨯+⨯=+=4.23575.8)125.06.18(8181220ψ② 支座截面处最大剪力()m kN l q g V n k k ⋅=⨯⨯+⨯⨯=+=3.1665.8)124.16.182.1(214.12.1212()m kN l q g V n k k k ⋅=⨯+⨯=+=1.1305.8)126.18(21213）正截面配筋计算按翼缘位于受压区的T 形截面计算。

计算时可先假定中和轴位于翼缘内，按宽度f b '的矩形截面计算，然后再核算与假定是否相符。

构件达到正截面承载力极限状态时，受压区预应力钢筋p A '，无论受拉或受压，其应力都较小，在配筋计算时可忽略不计，则本题可按单筋矩形计算。

考虑弯矩较大，受拉区预应力筋采用双排布置。

估算 mm a s 552301030=++= mm a h h s 745558000=-=-=14094.0745)25080(10346.07453601.190.15.0104.374115.011026201=+='<=⨯⨯⨯⨯⨯--='--=h h h b f Mff c αξ 与假定相符所以 20151010407453601.190.110346.0mm f h b f A pyf c p =⨯⨯⨯⨯='=ξα选用10HT φ10 2785mm A p =根据构造要求：2)25.195~75.117()25.0~15.0(mm A A p p ==' 选用2HT φ10 2157mm A p ='选配非预应力钢筋：2117300180100805021620100260502180360mm A =⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯= 根据构造要求：()%2.0≥'+'A A A sp即26.77mm A s≥' 受拉受压区选配同样的非预应力钢筋：选配2φ8 2101mm A A ss ='= 钢筋布置见图2-a4） 截面几何特征（见图2-b ）截面几何特征计算表表中：a —各截面i A 的重心至底边的距离；编号 )(2mm A i)(mm a ) (3mm a A S i = ⨯310)(*mm y i )()(42*mm y A i i ⨯410)(4mm I i ⨯4101 360⨯80=2800 760 21868 319 293072 1536 20.5⨯260⨯50=650070345702624461990.33 1000⨯620=6200410 25420 31 5958 1986074 0.5⨯80⨯50=2000117 234 324 20995 285 180⨯100=1800050 900 391 275186 15006 5.15⨯785=4046 88 356 363 533147 5.15⨯157=809 732 592 291 68518 5.46⨯101=552 29 16 412 9370 95.46⨯101=5527714263306011i y —各截面的重心至换算截面重心的距离； i I —各截面对其自身重心的惯性矩； EP α—预应力钢筋与混凝土的模量比 15.61025.3100.245=⨯⨯==C P EPE E α； ES α—预应力钢筋与混凝土的模量比 46.61025.3101.245=⨯⨯==C S ESE E α； 所以，扣除钢筋自身后的换算面积为24046785)115.6()1(mm A P EP =⨯-=-α 2809157)115.6()1(mm A PEP =⨯-='-α 2552101)146.6()1(mm A S ES =⨯-=-α 2552101)146.6()1(mm A s Es =⨯-='-α 换算截面面积：20123259i A A mm ==∑换算截面重心至底边的距离为：3200/5440210/123259441y S A mm ==⨯=∑ 换算截面惯性矩为：2444071537610201761.1917137.110i i i I A y I mm =+=⨯+=⨯∑∑2、计算预应力损失先张发构件热处理钢筋超张拉：20.700.7014701029/con ptk f N mm σ==⨯= 5215 2.010111.1/9000l s a E N mm l σ==⨯⨯= 5523 1.010*******/l s s E t N mm σα-=∆=⨯⨯⨯⨯= 240.0350.035102936/l con N mm σσ==⨯= 第一批预应力损失：'2134111.15036197.1/l l l l l N mm σσσσσI I ==++=++=扣除第一批预应力损失后，预应力钢筋的合力；'''()()(1029197.1)785(1029197.1)157783650p con l p con l pN A A N σσσσI I I =-+-=-⨯+-⨯='''()()(1029197.1)785(1029197.1)157783650p con l p con l pN A A NσσσσI I I =-+-=-⨯+-⨯=受拉区，受压区预应力钢筋合力点处混凝土的法向应力。

000pc p p pc N N e y A I σI I II =+=2'24183650199047049.236314.2/0.520/123259917137.110cn N mm f N mm +⨯=<=⨯ 0''0pc p p pc p N N e y A I σI I II=-=24183650199047049.22910.042/123259917137.110N mm -⨯=⨯ 配筋率：07851010.0071912359p sA A A ρ++==='''1571010.0021112359p s A A A ρ++==='2514.2452804528040130.3/1151150.00719pccul fN mm σσρ++⨯===++⨯ 5'''2'0.04245280452804043.9/1151150.00211pcl cufN mm σσρ++⨯===++⨯ 第二批预应力损失：5130.34l l σσII == ''543.9l l σσII ==总预应力损失：2197.1130.34327.44/l l l N mm σσσI II =+=+='''2197.143.9241/l l l N mm σσσI II =+=+= 3、正截面承载力计算①消压状态时：201029327.44701.56/p con l N mm σσσ=-=-='''201029241788/p con l N mm σσσ=-=-= ''''00055p p p p p l s l s N A A A A σσσσ=+--=701.56785788157130.3410143.9101⨯+⨯-⨯-⨯ 656842.36N = ②鉴别中和轴位置当受压区混凝土破坏时，受压区预应力筋应力为：2'''/388400788mm N f py po p =-=-=σσ在受压区有：N A f A h b f s y p p f f c 6882274101210157388)2/5080(3601.190.1''''''1=⨯+⨯-+⨯⨯⨯=+-σα在受拉区有：p py s y A f A f +=210×101×1040×785=837610N>682274N 所以得属于第X 类截面 ③计算承载力由0=∑X ，得：''']')'([1s y s y p p p py f f c A f A f A A f h b b bx f -++=-+σα X=bf h b b f A f A A f A f c f f c s y p p s y p py 11')'(''''αασ---++=1001.190.1105)100360(1.190.11012101573881012107851040⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯+⨯+⨯=179.09mm>'2a =2×29=58mm 计算相对受压区高度：378.0100.20033.056.70110400033.0002.018.0002.0151=⨯⨯-++=-++=cu s po py cub E f εσεβξmm A A a A a A a ps pp s s 817851018878529101=+⨯+⨯=++==0h 800-81=719mm=0h b ξ0.378⨯718=271.8mm.>x 即：0'2h x a b ξ<<)()()2()()2('0'''0'''0''101p p p s s r e f f c c h A a h A f h h b b b f x h bx f M σσααμ---+--+-=则：=1.0⨯19.1⨯100⨯179.09⨯（719-209.179）+1.0⨯19.1⨯(360-100) ⨯105⨯(719-2105)+210⨯101⨯(719-29)-388⨯157⨯(719-68) =537.8KNm>M=374.4KNm 故正截面承载力满足要求。