一节优质课的课堂实录广州市第六十五中学 510450笔者在进行了“正切函数的性质与图象”的市调研课后,受到了市考研室研究员和听课教师的高度评价。
故把课堂过程用文字进行实录,以供同行研讨。
教学过程实录:引入:师:同学们,前几节课我们研究了正、余弦函数的图像与性质,大家回忆一下,“三角函数”的定义是什么?生:我们把正弦函数,余弦函数和正切函数统称为三角函数。
师:所以,我们接下来就要研究三角函数中的正切函数的性质与图像。
即研究函数的性质与图像。
(师板书:正切函数的性质与图像 )我们先来回顾一下,一般地,我们研究函数的性质主要研究哪些性质?生:定义域;值域;最值;奇偶性;单调性;周期性;对称性;函数本身所有的特性。
(师板书:定义域;值域;最值;奇偶性;单调性;周期性;对称性;特性)正课:师:我们研究正弦函数的性质时是先作了正弦曲线,再由正弦曲线得出正弦函数的性质的。
那么,研究正切函数,我们能不能采用同样的方法呢?生:能。
师:对。
但我们这一节课换个角度,先用纯代数的方法来研究。
师:我们一起来看一下正切函数的定义域是什么?如图(1):由正切函数的定义,设角x的终边与单位圆的交点为p(a,b),则tanx=ba ,因为a是分母不能为0,所以角x的终边不能落在哪里?生:不可以落在y轴上。
师生:因此正切函数y=tanx=ba的定义域为:{x∣x≠kπ+π2,k∈z} (师板书{x∣x≠kπ+π2,k∈z} )师:定义域确定了,那么值域呢?能由tanx=ba直接得出来吗? 生:不可以。
师:那么我们可以通过什么去确定正切函数的值域呢?生:正切线。
师:在图(2)上变换不同角的正切线,由学生归纳出正切线的范围,从而得出正切函数没有最值,且值域为(-∞,+∞) 。
(师板书:无;(-∞,+∞))师:函数的奇偶性是怎么定义的?生:对于函数定义域中的任意x,都有f(-x)=f(x)就称函数为偶函数;都有f(-x)=-f(x)就称函数为奇函数。
师:我们能判断正切函数的奇偶性吗?如何判断它的奇偶性呢?根据判断奇偶性的方法,先要判断函数的什么?生:定义域是否关于原点对称。
师指导学生在数轴上进行定义域是否关于原点对称的判断。
师:因为x≠kπ+π2,k∈z,所以就有x≠…,-3π2,-π2,π2,3π2,…如图:定义域是数轴上取了若干个点,这些点关于原点对称,因此剩余的区间也就关于原点对称。
师:好了,定义域关于原点对称了。
然后判断什么?生:f(-x)和f(x) 的关系。
师板书(生答):f(x)=tanx,则f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)师:所以正切函数是奇函数。
(板书奇函数)那么正切函数图像会关于什么对称?生:原点。
师:所以正切函数的一个对称中心是?生:(0,0)师:回到正切线的图上,分四个象限让学生观察正切线的变化情况,并归纳出每个象限的变化情况。
第一象限:角x从2kπ增大到2kπ=π2,k∈z,正切线就从0增大到+∞。
第二象限:角x从2kπ+π2增大到2kπ+π,k∈z,正切线就从-∞增大到0。
第三象限:角x从2kπ+π增大到2kπ+3π2,k∈z,正切线就从0增大到+∞。
第四象限:角x从2kπ-π2增大到2kπ,k∈z,正切线就从-∞增大到0。
师:函数值tanx随角x变化情况能合并吗?引导学生观察发现从第四象限到第一象限和从第二象限到第三象限,正切线刚好都是从-∞增加到+∞。
生:函数在区间(2kπ-π2,2kπ+π2,k∈z和(2kπ+π2,2kπ+3π2)k∈z,都是增函数。
师:这两个区间还能写成一种形式吗?(让学生回想终边落在y轴上的角的集合)生:函数在区间(kx-π2,kπ+π2),k∈z,是增函数。
师:所以正切函数在区间(kπ-π2,kπ+π2),k∈z是增函数。
(板书在区间(kπ-π2,kπ+π2),k∈z,是增函数)师:请问正切函数是不是周期函数?若是,怎么判断?学生思考……师:根据周期函数的定义,若存在非0常数t,对定义域中任意的x,都有f(x+t)=f(x),我们就说函数f(x)为周期函数,常数t是它的一个周期。
因此,要证明正切函数是不是周期函数,我们只要看能不能找到非0常数t,使f(x+t)=tan(x+t)=tanx=f(x)?生:能。
根据诱导公式,存在t=π,使f(x+π)=tan(x+π)=tanx=f(x)。
师:所以正切函数是周期函数。
但我们平常说的函数的周期指的是最小正周期,那么正切函数的最小正周期是不是π呢?这个问题有兴趣的同学可以课后研究一下。
在这里,我告诉大家它的最小正周期就是π,要证明要用反证法,大家回去试证一下。
也可以课后找我探讨。
(师板书:t=π)师:好了,到了这里,我们基本上从代数的角度研究了正切函数的性质。
由这些性质我们可以猜想到正切函数的图像吗?师生:正切函数的图像被x=kπ+π2,k∈z分成了一段段,并不连续。
在每一个连续的区间(kπ-π2,kπ+π2),k∈z上都是增函数,它的图像重复出现,整个图像关于原点对称。
师:那么我们能根据这些性质把正切函数的图像作出来吗?生:不能。
师:大家想一想,我们作函数图像一般是怎么作的?生:列表描点连线。
师:对。
可是正切函数值好不好求啊?我们作正弦线的时候是通过什么方法作的呢?生:三角函数线。
师:那么我们能不能通过正切线作出正切函数的图像呢?因为正切函数是周期函数,所以我们只要作出它一个周期的图像,其它的就可以通过平移得到。
请问我们作哪一个范围里的图像好呢?(0,π) ?生:不好,因为这个区间被π2隔断了。
师:那么作哪个区间好啊?生:(-π2,π2) 。
师:好,为了图像比较准确,下面我们用多媒体来作图。
(进行作图演示图(4))师:大家观察直线x=-π2和x=π2与正切函数的图像有什么关系?它能穿过两条直线吗?与两条直线有交点吗?生:不能穿过两条直线,与两条直线也没有交点。
但曲线会随着减小或增大离直线x=-π2和x=π2越来越近。
师:对。
曲线会渐渐靠近直线x=-π2和x=π2。
所以我们把直线x=-π2和x=π2称为曲线的渐近线。
这个就是正切函数的一个特性。
(板书:渐近线)师:根据函数的周期性,如何画出正切函数的图像呢?生:把(-π2,π2内的图像向左或向右平移kπ个单位。
师:对。
如图(5):我们把正切函数的图像称为正切曲线。
大家观察正切曲线,它有没有对称轴?生:没有。
师:对称中心呢?生:有,(0,0) 。
师:还有其它对称中心吗?生:…(- π,0),(0,0),(π,0)…师:对。
(kπ,0),k∈z都是它的对称中心。
还有吗?(学生基本找不到)师指着(-π2,0)问:这个是不是?生恍然大悟:是。
师:所以…(-3π2,0),(-π2,0),(π2,0)…也是正切曲线的对称中心。
因此正切曲线的对称中心应该是什么啊?师生:所以…(-3π2,0),(-2π2,0),(-π2,0),(0,0)(π2,0)(2π2,0)…即(kπ2,0),k∈z,(师板书更改:(kπ2,0),k∈z,)师:由正切曲线我们可以知道它的渐近线有哪些呢?生:直线x=kπ+π2,k∈z。
(师板书:x=kπ+π2,k∈z)师:好了。
图像我们已经作出来了,我们回到图像上来,看一下它的性质是否与我们原来推导出来的一样。
(师指着图)师生:图像重复出现,而且易知周期是π;在区间(kπ-π2,kπ+π2,k∈z)上都是增函数;图像关于原点对称,所以是奇函数;图像向上、下无限延伸,所以值域是 (-∞,+∞) 。
师:所以,我们从函数图像得出性质和我们从纯代数得出的性质是一致的。
因此我们研究函数的性质,可以从代数的角度出发,也可以从几何图像的角度出发。
那么,我们研究了正切函数的性质,它有什么用呢?生:利用单调性,可比较正切函数值的大小。
师:对。
下面我们比较一下tan(-13π4)与tan(-17π5)的大小。
学生开始动笔。
师提示:我们比较两个函数值的大小,可以通过什么方法去比较呢?方法一可以利用诱导公式进行化简,到任意一个角的正切值转化为锐角的正切值;方法二可以把两个角都放到同一个单调区间里,然后比较角的大小,利用单调性得出正切值的大小。
师进行第二种方法的讲解:因为正切函数的单调增区间为(kπ-π2,kπ+π2),k∈z,所以-13π4和-17π5可以放在哪个单调区间里?(下面板书)∵-13π4=-3π-π4∈(-3π-π2,-3π+π2);-17π5=-3π-2π5∈(-3π-π2,-3π+π2, -13π4>-7π5且函数y=tanx 在区间(-3π-π2,3π+π2上单调递增,∴tan(-13π4)>tan(-17π5)。
师:至于方法一,大家课后自己完成,看结果是否一致。
师:除了利用正切函数的性质来比较函数值的大小以外,我们还可用来解决什么问题呢?生:可以利用y=tanx的有关性质解决形如y=atan(ωx+φ)的有关问题。
师:对,下面请大家求函数y=tan(π2x+π3)的定义域,周期,单调区间。
师:因为时间关系,我们一起来完成。
与正弦函数类似,函数y=tan(π2x+π3)的定义域,周期,单调区间与函数y=tanx定义域,周期,单调区间相关。
(下面板书)由π2x+π3≠kπ+π2得x≠2k+13,k∈z,所以y=tan(π2x+π3)的定义域为{x∣x ≠2k+13,k∈z}。
t=ππ2所以周期t=2。
由kπ-π2<π2x+π3<kπ+π2,k∈z,得2k-53<x<2k+13,k∈z,所以函数 y=tan(π2x+π3)的单调增区间为{x∣2k-53<x<2k+13,k∈z}。
师小结:我们这节课主要研究了正切函数的性质与图像,从代数角度出发得出正切函数的定义域;值域;最值;奇偶性;单调性;周期性;再结合图像理解正切函数的对称性等性质。
然后利用正切函数的性质解决比较正切函数值的大小问题,解决形如y=atan(ωx+φ)的函数的有关问题。
附教学反思与课后调查:教学反思:正切函数的解析式为y=tanx,让学生知道正切函数是以角x为自变量的函数。
因为研究正弦函数和余弦函数时我们是先作出图像,再从图像得出函数的性质。
根据教材的编写意图,正切函数是从另外一个角度,即从代数的角度研究函数的性质,再从图像印证性质,从而真正实现数形结合。
本节课基本上采用讲授式教学,师生之间进行一问一答的形式,既以学生为主体,又充分体现了教师在教学研究中的引导作用。
教材对正切函数的定义忽略不提,对周期性,奇偶性和单调性都只是进行了简单的证明。
本节课首先指出正切函数的解析式,课堂就明确了目标。
而且本节课主要采用了板书,只有在画图时采用了多媒体,让学生真正的跟着思路走。
课堂通过对教材内容的内涵与外延的挖掘,使学生知道自己本节课究竟学了什么知识,体验了研究过程,学会了探究新知的方法,充满了数学味。