《点集拓扑学》教案(40学时)第一章 序言与分析学初步§1-1 拓扑学的几何与分析两大背景拓扑学是数学中一个重要的、基础分支。

起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)。

后来，集合论的建立，导致了人们对抽象空间的分析学研究，并以此为背景建立了点集拓扑学理论。

一、以几何学研究作为发展背景被流传为拓扑学产生萌芽的哥尼斯堡七桥问题 1736年，欧拉在彼得堡担任教授时，解决了一个 “七桥问题”，并认为是拓扑学产生的萌芽。

当时普鲁士首府哥尼斯堡有一条普雷格尔河，这条河有两个支流，还有一个河心岛，共有七座桥把两岸和岛连起来。

有人提出一个问题：“如果每座桥走一次且只走一次，又回到原来地点，应该怎么走？”图1 七桥问题欧拉将“七桥问题”简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题，证明了这是根本办不到的。

一个网络能否被一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。

设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。

“七桥问题”是一个几何问题，但不是传统的欧氏几何问题，它与度量度无关，仅与连接方式有关。

几何学的其他例子① 欧拉的多面体公式与曲面的分类欧拉的研究发现，不论什么形状的凸多面体（解释凸多面体），其顶点数v 、棱数e 、面数f 之间总有 2=+-f e v 的关系。

由此可证明正多面体只有五种。

对于非凸多面体（如图2呈框形，则不管框的形状如何），总有0=+-f e v这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗地说，框形里有个洞。

BD图2 凸形与框形在连续变形下，凸体的表面可以变成球面，框的表面可以变成环面（轮胎面）。

这两者都不能通过连续变形互变（图3）。

在连续变形下封门曲面有多少种不同类型？怎样鉴别他们？这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。

图3 球面与环面②纽结问题空间中一条自身不相交的封闭曲线，会发生打结现象。

要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），或者问两个结能否互变（如图4中两个三叶结能否互变）。

同时给出严格证明，那远不是件容易的事了。

图4 圆圈与三叶结③布线问题（嵌入问题）一个复杂的网络能否布在平面上而又不自相交叉？做印制电路时自然会碰到这个问题。

图5左面的图，把一条对角线移到方形外面就可以布在平面上。

但图6中两个图却无论怎样移动都不能布在平面上。

1930年K·库拉托夫斯基证明，一个网络是否能嵌入平面，就看其中是否不含有这两个图之一。

图5 可嵌入的网络图6 不可嵌入的网络以上这些例子说明，几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。

这些性质与长度、角度无关，它们所表现的是图形整体结构方面的特征。

这种性质就是图形的所谓拓扑性质。

拓扑学起初叫形势分析学，这是G．W．莱布尼茨1679年提出的名词。

拓扑学这个词(中文是音译)是J．B．利斯廷1847年提出的，源自希腊文位置、形势与学问。

人们也将拓扑学称为“橡皮筋上的几何学”。

二、以分析学研究作为发展背景拓扑学的另一渊源是分析学的严密化和分析学在度量空间上的拓展。

康托尔的集合论提出，极大地拓展了数学的研究领域，使数学分析从数域延拓到任何抽象空间。

康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如：聚点、开集、连通性等。

在集合论的思想影响下，分析学中出现了泛函数(即函数的函数)的概念。

把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限，这终于导致了抽象空间的观念。

人们试图利用实分析的方法来研究泛函分析，我们会发现，实分析是建立在极限理论基础之上的，如函数的连续性、微分定义、定积分定义、无穷级数和与收敛性等等都与极限概念分不开。

在实数空间（欧几里得空间）上极限依赖着距离的概念，因此，泛函的研究必须在函数空间上建立相应的度量或范数。

对于根本不存在度量的抽象集合上，又如何讨论映射的连续和收敛的性质？人们通过极限定义中的“邻域”概念表述，将邻域视为与形状、尺度无关，仅仅与描述的元素有关的集合（开集），于是，将邻域作为拓扑概念，利用它得出诸如聚点、闭包、连通性、映射的连续性等一系列平行于度量空间上分析数学的结论。

三、近代数学与几何学的关系牛顿数学的基础是解析几何，微积分的建立是离不开几何背景的。

但是，牛顿数学是建立在实数空间上的数学工具，数学分析方法是否可以移植到一般的抽象空间上来？自从1873年康托建立了集合论以后，欧氏空间仅仅看成为一个特殊的集合，将欧氏空间上的数学分析方法移植到抽象空间上来，就成为现代分析数学的一个重要研究内容。

例：以集合论为工具，以几何学为背景的近代数学研究：①泛函（微分方程的研究）-----映射；②度量空间（研究收敛性）-----距离；③线性空间理论----直线，平面；④内积与正交性（空间表示理论，函数的变换）----垂直；⑤测度论----长度，面积，体积，质量；⑥拓扑学----邻域。

（1）函数概念的提升：映射、泛函一个大家所熟知的直观的数学概念的提升就是映射，它是函数概念的推广。

函数是数与数之间的对应关系，映射则是一个集合中元素与另一个集合中之间的对应关系。

（2）度量空间分析数学（微积分）的主要对象是函数，分析的工具是极限理论，极限的依据是距离。

如微分的定义、积分的定义、函数连续的定义、级数的收敛定义等等，都是以极限理论为基础的，而极限的概念与距离有关。

因此，微积分学中的主要数学概念几乎都是与距离分不开的。

在泛函分析中，研究的对象不再是一般的实数，所以必须在抽象的集合中引入距离的概念，称之为度量空间。

距离的公理是：X B A ∈∀,，+→⨯R X X d : 1）、d (A ,B )>0, 当A=B 时，d (A ,B ) = 02）、d (A ,B ) = d (B ,A )3）、d (A ,C ) + d (C ,B ) > d (A ,B )若集合X 上按上述方式定义了一个距离，称(X , d )为一个距离空间或度量空间。

例如，定义可积函数间的距离为（3）线性空间直线和平面是欧氏几何学中最简单的、意义最清晰的几何体，欧氏几何学是我们现实空间的几何，如何在抽象空间中做出这种几何体？过原点直线L0的性质:1）、a ∈L 0, R k ∈，则a k ⋅∈L 0; 2）、a , b ∈L 0, 则 a +b ∈L 0。

对于抽象集合X ，若(1)、a ∈X, 有 k.a ∈X;（2）、对任意的a ,b ∈X, 有 a +b ∈X 。

则称X 为线性空间（即抽象空间的直线）。

不过原点的直线 L 1 则不具有上述性质。

平行L 0的直线L 1的性质： 1）、p ∈L 1, a ∈L 0, 则 a +p ∉L 1；⎰-=badxx g x f g f d )()(),( f A B2）、给定p ∈L 1, 对于任意的q ∈L 1, 能找到唯一一点a ∈L 0,使 a +p ∈L 1. 回顾线性空间的定义。

线性方程解空间、线性微分方程解空间均为线性空间，思考其抽象的几何背景。

（4）内积空间向量是可以描述方向的数学概念，方向是几何体的一个重要特征。

向量的正交（垂直）是几何体之间联系的一个最有意义的性质。

向量的正交性被成功的应用在空间表示理论中。

空间中任何一个向量都可以由一组相互正交的坐标向量线性表示：设某空间V 的一组正交向量n a a a ,,,21 构成的基（座标系），V ∈∀β，有n n a k a k a k +++= 2211β 两个向量正交的定义：设如果内积则称21,a a 是正交的。

（5）测度论、勒贝格积分与概率论测度，也叫“度量”，是几何学中的一个基本概念，如直线或曲线的长度，平面或曲面的面积，空间物体的体积…等等。

微积分学中的dx, △x ，ds=dxdy , dv=dxdydz 等都是测度. 关于度量的一个奇异的例子：考虑如下的一个定积分问题其中，积分区域D 是[a ,b ]区间上的所有有理数构成的集合。

显然，黎曼积分无法解决这个问题。

这就需要对[a ,b ]上的有理数进行度量。

測度的性质：设Ω是一个几何空间，P 是一种度量，有⎰=Ddxx f J )(112212(,,,),(,,,),n n a a a b b b αα==∑==⋅>=<nk k k b a 1210,αα实数区间[a ,b ]上的有界函数 f (x )，可以看成为一个无穷维向量.区间[a ,b ]上两个有界函数f (x )和g (x )正交被定义为 f (x )和g (x )的内积等于零。

即⎰=⋅badx x g x f 0)()(傅里叶级数的解释⎰⎰⎰⎰⎰-----=⋅=⋅=⋅==ππππππππππsin sin ,0cos cos 0cos sin ,0sin ,0cos nxdx kx nxdx kx nxdx kx nxdx nxdx ∑∞=++=1)sin cos (2)(k k k kx b kx a a x f 有限维向量正交概念的推广1）、A ∈Ω ，有P (A ) ≥0;2）、A ,B ∈Ω，且A ∩B 不空，则P (A ∪B ) = P (A )+P (B ).若 Ω 是一个可测空间，并有P ( Ω )=1, 则（ Ω，P ）为概率空间，P 称为概率。

概率就是集合（随机事件）的测度。

思考：①“破碎度的刻画”，这也是个几何问题。

② 空间的维数。

（6）拓扑学不是任何抽象集合上都可以定义距离的。

当抽象集合中无法定义距离、范数、也没有内积的定义时，如何引进分析手段，拓扑学是利用邻域的概念来刻画收敛性质的。

所谓序列 x i 收敛到 x , 是指x i 与 x 越来越近，如果不能用距离来刻画，可以用邻域来刻画。

元素 x 的邻域是包含 x 的一组开集构成的集合套。

邻域只是一种包含固定点的集合。

抽象集合X 上，定义所有元素的邻域结构f , 称(X, f )为一个拓扑空间。

在拓扑空间上，我们可以对各种映射（或泛函）进行极限分析。

现在，拓扑学已发展成为研究连续性现象的数学分支。

19世纪末，在拓扑学的孕育阶段就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。

前者演化为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，它偏重于用分析的方法来研究。

它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。

它的表述形式大概在1940年左右就已经成形了。

点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识，它可以作为所有数学分支适用的表述形式，并成为现代数学的重要分支。

后者则成为代数拓扑学，它偏重于用代数方法来研究。

后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。

拓扑学采用了极为有力的表述形式及高度抽象的观点、方法，使他的理论显得十分简捷而具有高度的概括力。