1 3.1416 104 2
1 3.14159 105 2
若近似值x的误差限是其某一位上的半个单位 时，称其“精确”到这一位，且从该位起直到
左起第一位非零数字都称为有效数字。 定义： x为x*的近似数，将x写成： 是 0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9中的一个数，且： x1 0 ，n为正整数，m是 整数，且x的绝对误差限满足不等式：
f ( x ) f ( x* ) x x* x * xx x f ( x)
x x f ( x) f ( x) ex ( x) ex ( x) f ( x) f ( x)
x f ( x) 称为相对误差条件数。 f ( x)
例：x 的相对误差限为 ，求 sin(x) 的相对误差限
此范围也可表示成： x* x （1-4）
1.2.2 相对误差与相对误差限 定义：设x*为准确值，x是x*的一个近似值， 则称 为近似值x的相对误差。 注意：(1) ex小，精度高；(2) 相对误差比绝对误 差更能反映误差的特征，在误差分析中相对误 差比绝对误差更为重要。 由于 x 与x*都不能准确求得，相对误差也不 能准确求得。因此，给定一个正数 ，使得
0.8880 103
A M A 10 EA B M B 10 EB
(1) 加（减）法运算
A B ( M A M B 10EB EA ) 10EA
(2) 乘法运算
A B ( M A M B ) 10EA EB
(3) 除法运算
A / B ( M A M B ) 10 EA EB
得到递推公式： 1 nE , n 2,3, ,9 En n 1
主讲：陈 蓉 E-mail：rchen@
TEXTBOOK
计算方法
贺俐 陈桂兴 主编 武汉大学出版社
Topics
误差 插值与拟合 数值积分 解线性方程组的直接法 解线性方程组的迭代法 非线性方程的数值解法 常微分方程初值问题的数值解法

CONDUCT IN THE CLASSROOM
3.1416 (3 101 1102 4 103 1104 6 106 ) 101 m＝1，n＝5
1 1 13 3.14 10 102 2 2 1 1 15 3.1416 10 104 2 2
虽然m相同，但3.1416的绝对误差限小。3.1416比 3.14的有效数字位数多，近似 的精度要高。
1.5 误差危害的防止
1. 选择稳定的数值计算公式 例6 计算积分
En xne x1dx,
0 1
n 1, 2, ,9
1
解：利用分部积分得 1
n x 1 0
En x e dx [ x e ]| n xn1e x1dx 1 nEn1
n x 1 1 0 0
x f ( x) | er ( f ( x )) | ex ( x ) f ( x)
*
x cos( x) ex ( x) sin( x)
xctg ( x)
1.4 浮点数及其运算
1.4.1 数的浮点表示 在计算机中，一般实数x均按照舍入原则表示 成： x q b p (0 q 1) 称为b进制浮点数。正整数b称为基数，一般取 为2；但为照顾习惯和书写方便，通常将二进制 数化为10进制数输入或输出。整数p称为阶码或 b p 称为定位部，q 称为尾部数。 指数， 浮点数分为阶码和尾数两部分，并且均有各自 的符号位。计算机字长有限，因此浮点数的阶码 和尾数都是有限数。
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Attendance: 10 Homework: 20 Final exam: 70
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2.718 (2 101 7 102 1103 8 104 ) 101
1 1 mn e 2.718 10 103 2 2
例3：用3.14与3.1416分别近似
绝对误差限分别是：

m＝1，n＝3
3.14 (3 101 1102 4 103 ) 101
绝对误差和绝对误差限是有量纲的量。 相对误差和相对误差限是无量纲量，常用百分 数表示。
例1：设a=-2.18和b=2.1200分别有准确值x和y经 e ex 过四舍五入得到的近似值，问a ， b ，(a) ，x (b) 各是多少？ 解：凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值， 其绝对误差限等于近似值末位的半个单位，因 此：
1.1 误差的来源与分类
定义：近似值与精确值之差称为误差，误差的 来源或分类有4种。 (1) 模型误差 从实际问题提炼出数学问题时往往忽略了许多 次要因素，因而即使数学问题能求出准确解， 也与实际问题的真正解不同。它们之差称为模 型误差。 (2) 观测误差 一般数学问题包含若干变量，它们的值需要通 过观测得到，难免有误差。这种误差称为观测 误差/数据误差/参量误差。

1.3.2 有效数字与绝对误差和相对误差的关系
对于准确值x*的一个近似值x而言，有效数字越 多，它的绝对误差和相对误差就越小，而且知 道了有效数字的位数，由（1-9）就可以写出近 似值x的绝对误差限。 定理1-1 若用（1-8）式表示的近似值x具有n位有效数字， 1 则其相对误差限为 10 n 1 ，即
的大小显示出近似值x的准确程度， x 越小， x的准确度越高。 x
x 可正可负，绝对误差不是误差的绝对值。
实际中无法得到准确值x*，从而不能得到绝对 误差 的准确值。给出一个正数 ，使得： x | x | x * x （1-2） 成立 叫做近似值x的绝对误差限，简称误差限， 或称“精度”。 有了误差限，准确值x*的范围： x x* x （1-3）
1.2 绝对误差与相对误差
一个近似值的精确度：通常用绝对误差、相对误 差或有效数字ห้องสมุดไป่ตู้说明。 1.2.1 绝对误差与绝对误差限 设x*为精确值，x为x*的近似值，称x x * x 为近似值x的绝对误差，简称误差。 例：e取2.718，其绝对误差为
x e 2.718 0.0002818
x * x | ex | x*
x x * x ex x* x*
（1-5）
为x的相对误差限。实际中，准确值x*无法
得到，因此：
ex x x * x x x
（1-6）
x * x 称ex为x的相对误差，同样： | ex | x
（1-7）

为近似值x的相对误差限。
2 x1
ex 1 10 n1 2 x1
（1-10）
定理1-2 若近似值x的相对误差限为
1 ex 10 n 1 2( x1 1)
（1-11）
则x至少具有n位有效数字。
例4 用3.1416来表示的 近似值时，它的相对误 差是多少？ 解：3.1416具有5位有效数字，x1＝3，由（1-10） 得出它的相对误差为：
e( x) x * x
e( f ( x)) f ( x*) f ( x) f ( x ( x * x)) f ( x) f ( x e( x)) f ( x) Taylor 展开
f ( x ( x * x)) f ( x) f ' ( x)( x * x) 1 e( f ( x)) f ' ( x)e( x) f ' ' ( )e 2 ( x) 2 1 f ' ' ( )( x * x) 2 2!
a a * a 0.005
0.005 ex (a) 0.23％ 2.18
b b * b 0.00005
0.00005 ex (b) 0.0024％ 2.1200
1.3 有效数字与误差的关系
1.3.1 有效数字 当精确值x*有很多位数时，常按四舍五入的原则 取其前几位数字作为其近似值。 例： 3.1415926... 若按四舍五入原则分别取4 位和5位小数，则得： 3.1416 ， 3.14159 绝对误差限不超过末位数的半个单位，即：
e( f ( x)) f ' ( x)e( x)
| f ( x) | 称为绝对误差条件数。
如果条件数小，称 f ( x) 为好条件的。 反之，称 f ( x) 为坏条件的。
函数的相对误差
e( f ( x* )) f ( x ) f ( x* ) er ( f ( x* )) f ( x) f ( x)
计算方法在科学计算中的地位：
实际问题 计算方法 上机计算结果 建立数学模型 编写程序 分析结果
显然，计算方法处于承上启下的位置， 在整个计算中是重要的不可缺少的一环。
第1章 误 差
1.1 误差的来源与分类 1.2 绝对误差与相对误差 1.3 有效数字与误差的关系 1.4*浮点数及其运算 1.5 误差危害的防止



Get to class on time; Turn off your pager or cellular phone during the class; Don’t talk during lecturing; Raise your hand if you have any questions.
如果尾数q的小数点后的第一位数字不为零，则该数 叫规格化形式的数；如果尾数q的小数点后的第一位 数字为零，则该数叫非规格化形式的数。 规格化：把一个非规格化的数变为规格化形式的数 的过程叫做数的规格化。 非规格化形式的数： 通过变阶变成规格化形式： 1.4.2 浮点数的运算 设有两个规格化浮点数：0.0888 102