5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)•…•(232＋1)＋1的个 位数字．
解： (2＋1)(22＋1)(24＋1)•…•(232＋1)＋1
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)•…•(232＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)•…•(232＋1)＋1 ＝… ＝(264－1)＋1＝264＝(24)16＝1616. 因此个位数字是6.
×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝ 100 （100＋1） 2
＝5 050.
技巧 3 巧用乘法公式解决整除问题
4．对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)是不是10的倍数？为什么？
解： 对任意正整数n，整式(3n＋1)•(3n－1)－(3－n)
2．已知x＋
1 ＝3，求x4＋ x
1 x4
的值．
解：
因为x＋
1 x
＝3，所以（x＋
1 x
）2＝9，
所以x2＋
1 x2＝7，所以（x2＋
x12）2＝49，
所以x4＋
1 x4
＝47.
技巧 2 巧用乘法公式进行简便运算
3．计算： (1)2 0172－2 016×2 018； 解： (1)原式＝2 0172－(2 017－1)×(2 017＋1)
人，(5n＋3)2人，(5n＋4)2人．(n为正整数) (5n)2＝5n•5n； (5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1； (5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4； (5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4； (5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1. 由此可见，无论哪一种情况总人数按每组5人 分，要么不多出人数，要么多出的人数只可 能是1人或4人，不可能是3人．
技巧 5 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)
6．计算
20 1820172 20182 0162＋20 182 0182－2
的值．
解：设20 182 017＝m，则原式
＝（2－2m
m2 +1）＋（m
2
+2m
+1）－2
＝ m2 2m2
＝1 . 2
技巧 6 巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想)
1
1 10
= 3 1 4 2 5 3 … 10 8 11 9
223344
9 9 10 10
= 1 11 2 10
= 11 20
(3)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.
解： (3)原式＝（1002－992）＋(982－972)
＋…＋(22－12) ＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)
7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体 队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形， 且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再 进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一 组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有 人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你 说这可能吗？
解： 总人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2
技巧 1 巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab 的值．
解： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝7，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4，
所以a2＋b2＝ 1 ×(7＋4)＝ 1 ×11＝ 11 ，
ab＝
1
2
×(7－4)＝
1
2
×3＝
3
.
2
4
4
4
同类变式
(3＋n)是10的倍数，理由如下：(3n＋1)•(3n－1) －(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)＝9n2－1－ 9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1)． ∵对任意正整数n，10(n2－1)是10的倍数， ∴(3n＋1)•(3n－1)－(3－n)•(3＋n)是10的倍数．
技巧 4 应用乘法公式巧定个位数字
＝2 0172－(2 0172－12) ＝2 0172－2 0172＋1 ＝1.
(2)
1
1 22
1
1 32
1
1 42
…
1
1 92
1
1 102
；
解： (2)原式＝
1+
1 2
1
1 2
1+
1 3
1
1 3
1+
1 4
1
1 4
…
1+
1 9
1
1 9
1+
1 10
习题课
阶段方法技巧训练（二）
专训1 活用乘法公式进行计算的六种技巧
乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公 式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意 以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个 式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中 各项的关系及整个公式的结构特点；(4)在运用公 式时要学会运用一些变形技巧．