§13.2 推理的几种基本方法预备知识●不等式基本性质及不等式的解法●素数、奇数、偶数等概念●数列的有关知识●立体几何中有关体的概念●函数的奇偶性与函数图象的对称性重点●合情推理与演绎推理的一般方法●归纳推理与类比推理在数学发现中的应用●演绎推理的一般形式及其应用●数学归纳法的原理与应用难点●归纳推理与类比推理在数学发现中的应用●演绎推理的一般形式及其应用●数学归纳法的原理与应用学习要求：●通过学习教材中列举的例子体会归纳推理与类比推理在数学发现中的应用，并能对一些数学问题作出合情推理，提出一些合情的猜想●理解演绎推理的一般形式及其应用方法，会运用演绎推理解决一些简单的数学问题●理解数学归纳法的原理，会运用数学归纳法证明一些简单的关于自然数n的数学命题●了解数学归纳法的局限性1. 几种主要的逻辑推理导出和判定命题真假，离不开推理过程．推理必须符合逻辑，即应该是逻辑推理．对不同的命题，尽管推理过程千变万化，但并非无章可循，我们仍然可以从中总结出一些基本规律和原则．简单地说，推理可以分为合情推理与演绎推理两大类．合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程．看下面这个例子：6=3+3；8=3+5；10=5+5=3+7；12=5+7；……我们可以发现如下规律：各等式的左边是大于4的偶数，右边各加数为奇素数．由此可以合乎情理地推测，大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和．这就是著名的哥德巴赫猜想．它是从有限个特例通过不完全归纳提出的猜想．这就是合情推理的一种，叫做归纳推理．众所周知，到目前为止这个浅显易懂的猜想尚未得以证明．换言之，尽管我们目前还举不出反例，但它仍然只是个猜想，未必正确．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理与演绎推理之间联系紧密、相辅相成．下面对合情推理与演绎推理的一般形式及其特点加以分析．(1)归纳推理归纳推理(简称归纳)是从具体事实中概括出一般结论的一种推理模式．如果仅能对部分事实验证结论，则叫做不完全归纳法；如果能穷尽全部事实验证结论，则叫做完全归纳法．不要被“不完全归纳法”、“完全归纳法”之类的名称吓倒，其实这种归纳法你经常在应用．例如，给出数列前几项{a n }={2,4,6,8,…}，{b n }={1357,,,24816,…}，要求写出数列的通项，你立即会写出a n =2n ，b n =212n n -(n =1,2,3,…)．这就是归纳推理．当然在没有对所有正自然数n 验证之前，只是不完全归纳；一旦根据其它条件得到了验证，就成为完全归纳了．不完全归纳法是一种合情推理，得出的结论未必是正确的．17世纪著名数学家费马曾通过不完全归纳得出猜想“221kn a =+(n ∈N)是一个素数”．在n =0,1,2,3,4时这个猜想都是正确的，但随着n 的增加，a n 增长太快了，而要确定一个很大的数是否为素数又非常困难，所以这个猜想长期处于既不能证明其为真，但又不能举出反例证明其为假的两难境地．直至18世纪，另一位大数学家欧拉才证明了当n =5时它是错的．同样，哥德巴赫猜想也是通过不完全归纳法得出的结论，它的正误尚无定论，因此仅仅叫做猜想．然而有些不完全归纳法导出的结论，也被人们所认可．例如在初中，我们通过度量各种三角形的内角大小，得出“三角形内角和为180︒”的结论，因为我们并未能(实际上也不可能)对全部三角形作验证，因此它也是一种由不完全归纳法得出的结论．完全归纳法必须穷尽被考察对象的一切特例后才能作出结论，因而结论是确凿可靠的．但是要无一遗漏地考察所有特例往往是困难的，只有在某些特定的情况，才有作出完全归纳的可能．课内练习11. 作出直线0.5y =+，并从图象上观察这条直线是否经过整点．(注：整点是指在直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点)2. 请你猜想：直线0.5y =+是否永远不会经过整点．3. 你能写出一个“直线y =kx +b 永远不经过整点”的充分条件吗？4. 你能证明你对第2题的猜想吗？5. 下表列出了一些多面体的顶点数、棱数和面数，请你先将表格填写完整，然后猜想任意多面体的顶点数、棱数和面数之间有没有关系．6. 判断分段函数1(0),()0(0),1(0)x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩的奇偶性．7. 回忆指数函数x y a =的单调性是怎样得出的．是完全归纳还是不完全归纳？能再举出一些归纳法推理的例子吗？8. 请归纳一下“已知三角形的两边和其中一边的对角，解此三角形”的所有情形．(2)类比推理类比你一定经常应用，例如，“学习如逆水行舟不进则退”、“光阴似箭，一去不复回”之类的比方，就是以逆水行舟来类比学习，推出不进则退的结论；以箭来类比光阴，推理出一去不复回的结论．这些结论激励你珍惜时间，不断求进．数学上也有一种叫做类比推理的方法．它是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式．例如，下表对正方形和正方体作了类比．请你在类比中推测正方体有几条对称轴(注意：绕轴旋转180︒后应该与原正方体重合)． 类比推理也仅是一种合情推理，与归纳推理一样，主要用类比的方法，从已知规律探索和发现未知的规律，所得结论也往往是一种猜想，并不可信，还需检验和证明．上表中右列结论有的不难验证，有的你可能要学过立体几何 ( II ) 后，才能很好地证明．你猜想正方体有4 ⨯ 3 = 12条对称轴或3 2 = 9条对称轴都是合情的，但如果进一步从正方形的对称轴特点去类比推理可能更易得出正确的答案．在科学技术领域，广泛应用类比推理的方法，从已知去发现未知．比如利用某些与人类有共同之处的动物作药品初期试验，用风洞试验飞机的各种性能等等．课内练习21. 如图13-2，类比直角三角形ABC 和直角顶点四面体A -BCD (AB ,AC ,AD 两两垂直)，设四面体的顶点A ,B ,C ,D 所对的面的面积依次为O ,P ,Q ,R ，由勾股定理类比推测O 、P 、Q 、R 之间的关系，并证明你的结论．2. 根据牛顿的万有引力定律，质量分别为m 1,m 2，距离为r 的两个物体之间的引力大小为122m m F Gr =，其中G 为引力常数．有人将它与两个城市间的电话通话数量作类比推理，猜想电话的通话量相当于万有引力F ，两个城市的人口相当于m 1、m 2，两个城市间的距离相当于r ，这些量之间也可能有类似的公式．研究者对各个城市间的通话数量作了大量的统计分析，发现的确存在类似的数量关系．请你也由万有引力定律作一些类比推理，推测一些可能的关系．3. 欧姆定律是指电路中的电流I 与电压U 成正比，并由欧姆定义了比值UR I=为电路的电阻值，单位即为欧姆．请你由此猜测：假设两个不同温度的物体之间，距离和其它因素固定不变，它们之间的热量传递速度与温差之间可能存在什么关系？请查阅热学方面的书籍或上网搜索关键词“热传导定律”，证实你的猜想．(3)演绎推理归纳、类比两种合情推理，一般具有发现性和创新性，但带有臆测、猜想倾向．演绎推理则是由一般性的命题严格地推出特殊性命题的一种推理模式，它主要用于证明给定的ABCABCD 图13-2(1)(2)结论．演绎推理的名称尽管初次出现，但它早已为我们所应用．例如，证明对顶角相等，就是由“平角等于180︒”这个命题，经过演绎推理得到的：平角等于180︒．如图13-3所示，因为∠AOB 为平角， 所以∠AOB =180︒． 又因为∠1+∠2=∠AOB ， 所以∠1+∠2=180︒． 同理，∠1+∠4=180︒． 所以∠2=∠4． 同理，∠1=∠3．演绎推理过程一般分为大前提、小前提、推出结论三段，一般叫做三段论式．三段论可以表示为一个一般原理(大前提)：M ——P (M 是P )； 一个特殊情况(小前提)：S ——M(S 是M)；结论：S ——P (S 是P )．大前提与小前提是一般原理和特殊情况的内在联系体．如上例所示，“平角(M )是180︒(P )”是一个一般性原理；“∠AOB (S )是平角(M )”是本题的特殊情况，从而产生结论“∠AOB (S )是180︒(S 是P )”．接下来的各步推理其实也都含有这三段，但因为平时在显见的情况下，常常略去了大前提演绎推理是数学中的最重要推理形式，平时很多数学题(包括计算题)都是用这种推理形式来解算或论证的．例1 已知 f (x +3)=2x 2-1，求f (0),f (x )． 解 对任意实数x ， f (x +3)=2x 2-1(大前提)， 取3x =-(小前提)，则f (-3+3)=f (0)=17．(结论)对任意实数x ，f (x +3)=2x 2-1(大前提)， 令x +3=t ，即取x =t-3(小前提)，则f (t )=2(t -3)2-1=2t 2-12t +17．(结论)对任意实数t ， f(t )=2t 2-12t +17(大前提)， 取t =x (小前提)，则ACB D O1 32 4 图13-3f (x )=2x 2-12x +17．(结论)当然，你在解题时不必每一步都写出大前提、小前提、结论，完全可以按照我们已经习惯了的书写格式来表达推理过程，象本例中的大前提也不必表述得如此完整，共用的大前提一般只要写一次即可，一些显见的推断过程可以省略．但如果你在解算、论证时遇到了阻力，不妨按此方式整理一下思路，也许能帮你解脱困境．这是因为演绎推理还能把特殊情况明晰化，使之能与某些一般性命题相联系．例2 求证：函数f (x )=x 4+2x 2-1的图象关于y 轴对称．证明 f (x )的定义域为R ．当x ∈R 时，f (-x )=(-x )4+2(-x )2+1= x 4+2x 2-1=f (x )，所以f (x )为偶函数．又因为偶函数图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．在上面的证明过程中，先证得f (x )为偶函数的结论，使“f (x )的图象关于y 轴对称”这个特殊问题与“偶函数图象关于y 轴对称”这个一般性命题建立了联系．演绎推理的另一个功能，是可以揭示出并不显见的性质或规律，在一定程度上也可以认为是新知识的发现．例如，将一元二次函数y =ax 2+bx +c 配方，得224()24b ac b y a x a a-=++， 这时便很容易看出二次函数蕴含的性质：当x =2ba-时，y 将达到最小值(a >0)或最大值(a <0)．课内练习31． 说出下列演绎推理过程中省略的部分，并分析推理的三段论结构． (1)求证：三角形ABC 内角和等于180°．证明：如图13-4，延长BC 到点D ，过点C 作射线CE ∥AB ．则∠A =∠ACE ，∠B =∠ECD ．所以 ∠A + ∠B + ∠ACB = ∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°．(2)设()f x 为周期函数，周期T =4，且f (1900) = 1，求f (2008)．BAC DE图13-4解：f (2008) = f (1900+27⨯4) = f (1900) = 1． 2． 请你再举一些用三段论结构进行演绎推理的例子．3. 数学归纳法简介公差为d ，首项为a 1的等差数列的各项依次为a 1， a 2 = a 1 + d ，a 3 = a 1 + 2d ，a 4 = a 1 + 3d ，…，a n = a 1 + (n -1)d ，…其中，a n = a 1 + (n -1) d 叫做通项公式．通项公式是怎么得到的？它正确吗？你肯定会毫不犹豫地回答：“从a 1,a 2,a 3等的公式依次类推嘛，当然正确！”确实，“依次类推”是一个合情推理，但仅是不完全归纳，不完全归纳导出的结果未必正确，因此通项公式只能算是猜想．想证明它，应该要完全归纳才行，那就是说，你得穷尽被考察对象的一切特例，即遍历全部正自然数n =1，2，3，4，…，验证通项公式是正确的．而这是一辈子可不可能完成的．如此显见的事实竟然没有证明的办法？当然不是．证明的方法，就是下面要介绍数学归纳法． 数学归纳法是一种完全归纳法，由以下三步构成： (1) 验证命题p 当n =1时为真； (2) 设当n =k 时p 为真；(3) 证明当n =k +1时p 为真，则p 对一切正自然数n ∈N +为真．事实上，因为n = 1时p 为真 ⇒ (k = 1) n = k + 1 = 2时p 为真 ⇒ (k = 2) n = k + 1 = 3 时p 为真 ⇒ ( k = 3 ) n = k + 1 = 4时p 为真 ⇒ …所以对一切正自然数n ∈N +，p 为真．因为p 一般通过不完全归纳导出，这三步中的第一步是容易的；第二步“当n =k 时p 为真”是一个假设，通常叫做归纳假设；关键和难点是第三步，即从归纳假设出发，证明当n =k +1时p 为真．从数学归纳法的特点可见，这种方法适用于与自然数n 有关的命题的完全归纳． 现在我们用数学归纳法证明等差数列的通项公式a n = a 1 + (n - 1)d ． 证明 n =1时，a 1=a 1+(1-1)d =a 1，公式是正确的． 设当n =k 时公式正确，即a k =a 1+(k -1)d ，则当n =k +1时， a k +1=a k +d ，由归纳假设，a k +1=[a 1+(k -1)d ]+d=a 1+kd=a 1+[(k +1)-1]d ，所以当n =k +1时公式也是正确的．不必气恼，数学就是如此“无情”．也正是这种“无情”，迫使你去追求严密，提高你的逻辑推理能力．所以对n ∈N +公式正确．再看一个例子：证明对一切正自然数n ∈N +，12+22+32+…+n 2=16n (n +1)(2n +1)． 证明 当n =1时，12=16⨯1⨯(1+1)⨯(2⨯1+1)，即1=1，所以等式成立．设当n =k 时成立公式12+22+32+…+k 2=16k (k +1)(2k +1)，则 当n =k +1时12+22+32+…+k 2+(k +1)2=[12+22+32+…+k 2]+(k +1)2， 应用归纳假设，12+22+32+…+k2+(k +1)2=16k (k +1)(2k +1)+(k +1)2 =16(k +1)[k (2k +1)+6(k +1)]=16(k +1)[2k 2+7k +6]=16(k +1)[(k +2)(2k +3)]，即 12+22+32+…+k2+(k +1)2=16(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]， 所以当n =k +1时公式成立．所以对n ∈N +公式成立．课内练习41. 不使用等差数列前n 项求和公式，直接证明1+2+3+…+n =(1)2n n +． 2. 用数学归纳法证明首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和S n =1(1)1n a q q--．3. (秃子悖论)以n 表示人头上的头发根数．一位秃子若增加一根头发，还是秃子．由此可见，任何人当n =1时，肯定是秃子；设当n =k 时是秃子，则当n =k +1时仍然是秃子．按照数学归纳法，任何人不论脑袋上长了多少头发，还是秃子，因此，所有的人都是秃子．请你批驳一下这个荒唐的结论．如果你找不到强硬的批驳理由，请你到互联网上搜索此悖论的相关知识，你不但能找到批驳的理由，而且还能知道，正是这个悖论，促使了一个全新的数学分支——模糊数学的诞生．4. 多米诺骨牌第1张倒下；设第k 张倒下，则第k +1张也被推倒．依据数学归纳法，整个多米诺骨牌将全部倒下．一位喜欢诡辩的同学提出反对：“我把当中某张骨牌用胶水粘在底板上，那么这张牌以后的所有骨牌都不会倒下”．这样的矛盾，问题究竟出在哪儿了？1. 费马大定理提到费马，不能不说一下费马大定理．费马对数有着异常敏锐的直觉，因此他成了一个数学猜想大王，一个运用不完全归纳法发现数学新大陆的探险家，被数学史家公认为是“一只会下金蛋的鸡”．他曾预言“当n>2时，不存在正整数x,y,z,n，使x n+y n=z n”．这就是困扰数学界358年的费马大定理．围绕对这个问题研究，产生了许多新的数学分支和结论，这个猜想最终于1994年获证，真正成为了一个定理．2. 四色问题“四色问题”是依据不完全归纳法提出的一个著名猜想．所谓“四色问题”是这样的：对任意一幅无论多么复杂的地图，只要用四种颜色，就足以使相邻地区的颜色不同．提出至今，除了利用高速计算机穷举所有可能的情形作完全归纳法证明外，没有更好的证明方法，因而对这个图论问题可能蕴含的“天机”尚未揭密．但在数学界首次承认了计算机穷举也是一种证明，除此之外，它会不会也是能生下一批“金蛋”的鸡呢？3. 哥尼斯堡七桥问题“哥尼斯堡七桥问题”是使用完全归纳法证明一个猜想的著名例子．图1是风光秀美的哥尼斯堡的地图，城堡的A、B、C、D各个区域被河道隔开，并以七座桥联通．导游提出：能不重复地一次性走过这七座桥吗？岛B北A南C 东DABCD你可以“纸上谈兵”，来完成完全归纳，然而要穷尽所有情形是非常困难的．著名数学家欧拉另辟蹊径，他首先把A、B、C、D四个区域看作四个点；把能通达各区域的七座桥看作联结这些点的线，这样上述问题即抽象为“能否无重复地一笔画出图2所示图形”？接着他通过分析，发现一笔画问题归结起来有两种情形：①始点和终点不同(如图3 (1),(2))；②始点和终点相同(如图3 (3))．对于情形①，除了始点和终点外，其余均为途经点．途经点有一个特征：有“进”线必有“出”线，也就是联结途经点的线数成双．我们把联结有偶(奇)数条线的点称为偶(奇)点，显然途经点必为偶点，而始点和终点因“进”线与“出”线不成对，故必为奇点；对于情形②，与①不同之处在于始点和终点重合后也成了偶点．欧拉综合上述分析与推理得出结论：一个图形能一笔画出的充要条件是它仅有两个奇点(它们分别作为始点和终点)或均为偶点(任一点均可作为始点和终点)．依此结论，你看看哥尼斯堡七桥问题有解吗？当然让电脑来做完全归纳是可以的，然而欧拉生活在没有电脑的19世纪，另辟蹊径的结果，是揭示了暗藏于问题中的“天机”，这个“天机”的进一步发展，终于形成了数学学科的一个极有应用价值的分支――图论．练习1. 下列图形能一笔画出的有哪些？若可以，试着画出此图．图3(1) (2) (3)。