单元分析流程图
金属塑性成形原理
进行单元分析时，需要把单元内的任一点的位移分量表示成坐标 的某种函数，该函数称为位移函数。
多项式形式的位移函数应用最为广泛。多项式的次数越高，计算结 果越精确。在实际中，取有限次多项式来获得近似解。
位移函数的次数对计算精度的影响
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位移函数的多项式形式： 实际工程应用中，插值函数多项式一般取1~3次。
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第九章 金属塑性成形有限元软件应用
内容提纲
一、有限元基本原理简介 二、 Ansys软件简介 三、Abaqus软件简介 四、Deform-3D软件简介 五、Dynaform软件简介
金属塑性成形原理
金属塑性成形原理
第一节 有限元基本原理简介
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值计算方法。由 于采用类型广泛的边界条件，对工件的几何形状几乎没有什么限制和求解 精度高而得到广泛的应用。有限元法在40年代提出，通过不断完善，从 起源于结构理论、发展到连续体力学场问题，从静力分析到动力问题、稳 定问题和波动问题。随着计算机技术的发展与应用，为解决工程技术问题， 提供了极大的方便。
➢几何对称的变形体，利用其对称性，只选择对称部分进行网格划分。
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二、位移函数的选择 ✓结构离散化后，要对单元进行力学特性分析。 ✓单元分析是有限元计算的核心，其任务是建立单元的结点力与结点 位移之间的关系，即建立单元的刚度矩阵。 ✓由弹性或塑性力学方程分析应力与应变，建立结点位移和内部应力 的关系，现借助虚功方程，导出单元结点力与结点位移的关系。
针对该问题研究者们提出了几种不同的处理方法， 典型的有拉格朗日（Lagrange）乘子法，罚函数法。
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1. 拉格朗日乘子法
Lagrange乘子法的数学基础是数学分析中多元函数的条件极值理论。 例如求目标函数在约束函数条件下的极值。
Φ G(x1, x2,, xn-1, xn ) i gi (x1, x2,, xn-1, xn ) i
方程并求解，从而求得每个节点的未知量（速度或位移）
离散单元数目越多，求解越逼近真实情况。 即网格划分越细，模拟结果越精确，但计算量 急增。
一、连续体的离散化（网格划分） 1. 二维平面问题
2. 三维空间问题
金属塑性成形原理
金属塑性成形原理
➢ 在应力、应变变化梯度较大的部位或角点附近，单元要划分得更密。
目标函数 Lagrange乘子 约束函数
dV
V
S p pi vidS
1
dV
V
S p pividS
V ijij dV
修正泛函数
对于一切满足几何方程和速度边界条件的容许速度场，其精确解使 修正泛函取极值（驻值），即其一阶变分为零，即：
1
dV
V
S p pividS
V ijij dV
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刚塑性有限元法每一加载步的计算，是在以前材料累加变形的几何形状 和感化状态的基础上进行的，每一步变形增量较小。因此，可用小变形计算 来处理塑性成形的大变形问题，计算模型相对较为简单。
但该方法忽略弹性变形，所在在计算小变形时的精度不及弹塑性 有限元法，且不能计算回弹和残余应力。
由于刚塑性模型不计弹性变形部分，并采用体积不可压缩假设， 就难以确定静水压力σm，因而求不出变形体内的应力分布σij。
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有限元的基本思想：
（1）网格划分 把变形体视为有限数目单元体的集合（离散化），单元体通过指定节点相
互作用。 （2）分片近似 对每一个单元选择一个确定的函数来近似描述其场变量（如速度或位移），
并建立各物理量之间的关系。 （3）集成求解 将各个单元所建立的关系式加以集成，得到一个与有限个节点相关的总体
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有限元数值模拟的目的与意义是为计算变形力、验算工模具强度和 制订合理的工艺方案提供依据。 具体包括：
通过数值模拟可以获得金属变形的规律，速度场、 应力和应变场的分布规律，以及载荷-行程曲线。 通过对模拟结果的可视化分析，可以在现有的模具 设计上预测金属的流动规律，包括缺陷的产生（如角 部充不满、折叠、回流和断裂等）设计，提高模具设计的合理性和模具的使用 寿命，减少模具重新试制的次数。 通过模具虚拟设计，充分检验模具设计的合理性， 减少新产品模具的开发研制时间，对用户需求做出快 速响应，提高市场竞争能力。
在选择插值函数多项式的阶次时，必须考虑以下因素： 1）插值多项式应尽可能满足收敛性要求； 2）多项式描述的位移形式与局部坐标系无关； 3）多项式的项数应等于单元结点自由度的数目。
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三、刚塑性有限元变分原理
理想刚塑性材料的变分原理也称为马尔可夫变分原理。具体描述为：
在满足变形几何方程、体积不可压缩条件、速度边界条件的一切运动容
现有的计算方法（解析法、滑移线法、上限法等）由于材料的本构关 系，工具及工件的形状和摩擦条件等复杂性，难以获得精确的解析解。所 以一般采用假设、简化、近似、平面化等处理，结果与实际情况差距较大， 因此应用不普及。
常用的塑性成形有限元分析软件有： Ansys、Marc、Abaqus、Deform、Dynaform、Natran、Hypermesh
V
ijij dV
0
当速度场为真解时， Lagrange乘子等于静水压力，即：λ= σm
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2. 罚函数法
刚塑性有限元法的一个基本假设是体积不变，罚函数法从这一点入
手，引入一个很大的正数乘以体积应变速率的平方，把体积不可压缩条
件引入泛函式，构造一个新泛函，即：
2
dV
V
Sp
pi vi dS
许速度场中，泛函（下式）的驻值（即δΠ = 0）为速度场 vi 的精确解：
dV
V
S p pi vi dS
该定理是上限定理的另一种表达式。泛函的第一项是塑性变形能耗散速率， 第二项是外力所作的功率。如果像许多金属成形问题一样，只给定摩擦应力的 话，该泛函由塑性变形能和摩擦损失构成。
泛函：自变量本身也为函数的函数。
2
V V2dV
其中：α称为罚数。
当速度场趋于真解时，接近于零，惩罚项的值接近于零。反之，速率场 远 离真解时，由于α值很大，惩罚项的值就大，这就是对违反约束条件一个“惩 罚”，对求驻值过程中，速度场经过迭代逐渐趋于真解，惩罚项的作用逐渐变 小，就逐渐满足了体积不可压缩条件。