、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1) y = f(x) = c ； (2) y =f(x) = x ； (3) y = f(x) = x 2；⑷ y =1f(x)二x ； (5) y 二f(x)二：'x.1提示：：(2)( x)'二 1 • x1 —1, (3)(x 2)'二 2 • x 2— 1, (5)( x)z 二(x 2)1_-11 2 -2x1aa —1基本初等函数的导数公式提示：(1) V △ y f x +△ —f △ x — △ x0.2)( x)'二 1,3( x 2) '=2x ,1 ⑷x函数⑵(3)(5) 均可表示为y = a , x ( ax c — c, △ y —=U = °，二y =吹不，一 1(5)( &)衣€ Q *)的形式，其导数有何规律?问题：上述函数的导数是什么?、导数运算法则1已知 f(x) = X , g(x)=-.入问题1： f(x), g(x)的导数分别是什么?问题2：试求Q(x) = x + -, H(x) = x — 1的导数.xx提示： 1 1 —A x •••△ y = (x +A x) + X +A x — x + x =A x + x x +A x ,fx 二 1 - x x +A x ， •- Q (X)二吹0 lx 二吹0=1 —1 同理 H'(x) = 1+1x / X问题3: qx), H(x)的导数与f(x), g(x)的导数有何关系?提示：Q(x)的导数等于f(x), g(x)导数的和，H(x)的导数等于f (x), g(x)导数的差.1 x x +A x导数运算法则1. [f (X) ±g(x)] '= f '(x) ±g '(x) 2・[f(x) • g(x)] f '(x)g(x) + f(x)g'(x)x(g(x)工 0) 题型一利用导数公式直接求导x(1)y = 10; (2)y = lg x ；⑶ y log ! x ；21[解](1)y '二(10)'二 10x ln 10 ; (2)y '二(lg x)'二 xn^y ；(sin x) ' = cos x.练习求下列函数的导数:(1) y 二 e x ； (2) y 二 10 x ； (3) y 二lg 5; (4) y = 3lg ^x ； (5) y = 2cos 笃一2.x cos- 1 sin 2 2(4)y 二 4x 3; (5) yx[g［例1］求下列函数的导数: sin1 = -xln 2 ；xln 2x 2+ cos 2—1 = ⑷y '=(扳3)⑸••• y 二与+ 2sinx x 2x ^cos^ + cos 2 — 1 =31 — |n 10店和= 而 =—10—xln 10 ； (3) T y = Ig 5 是常数函数，二 y '二(Ig5) '= 0;⑷••• y 二3lg 眾二 Ig x,••• y '= (Ig x)'二 xl 门為；(5) vy =2cos%— 1 = cos x ,••• y '= (cos x) '=— sin x.题型二 利用导数的运算法则求函数的导数［例2］求下列函数的导数：3 xx x 2e +1 (1) y = x •e ; (2) y=x — sin qcosq; (3) y = x + Iog 3x ；⑷ y = •［解］(1) y ' = (x 3) ' e x + x 3(e x ) ' = 3x 2e x + x 3e x = x 2(3 + x)e x .1 , , 1 ,1(2) ■/y = x — QS in x ,「. y = x — q(sin x) = 1 — qcos x.二(x 2)' + (Iog 3x)'二 2x + 扁x .e + 1—2exe x — 1练习求下列函数的导数:解：⑴y '=1x 1 1=_ In _ = _ r= — ee e e101 10⑶ y '二(x 2+ Iog 3x)COS x L 1 +A /x 1 -J x(1)y = —；⑵ y=xsin x+G ； (3)y 二+ ~1^j X ；⑷ 丫二 © Xx 2.sin x — cos x xsin⑵ y '— (xsin x) '+ ( . x)1—sin x + xcos x +——.2\jx题型三导数几何意义的应用[例3] （1）曲线y — — 5e ix x + 3在点（0，— 2）处的切线方程为 . ⑵ 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ： y — x 3— 10x + 13上，且在 第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为［解析］(1)y ' —— 5e x ,「.所求曲线的切线斜率k — y ' | x —。

— — 5e 0— — 5,二切线方程为 y — ( — 2) — — 5(x — 0)，即 5x + y + 2— 0.2——xcos xxcos x • x — cos x • x (3) v y— 1+込1 — x2 +2x—4 1 — x — 2 —2., 1 ⑷ y — ig x ——(ig x )丄，—12x2 —xln 10 +Fx + cos x⑵设点P的坐标为（X。

，y°），因为y ' —3x2—10，所以3x2—10—2，解得x o =± 2.又点P在第一象限内，所以X。

二2,又点P在曲线C上，所以y = 23- 10X 2+ 13 = 1，所以点P 的坐标为(2,1) . (1)5 x + y + 2 = 0 (2)(2,1)练习若曲线f (x) = acos x与曲线g(x) = x2+ bx+ 1在交点(0 , m)处有公切线，则a+ b = ________ .解析：f'(x) = —asin x，g'(x) = 2x+ b，2•••曲线f (x) = acos x与曲线g(x) = x + bx+ 1在交点(0,n)处有公切线，f (0) = a = g(0) = 1，且f' (0) = 0 = g' (0) = b，A a+ b= 1.答案：11. 切线方程的求法［典例］已知a € R,函数f (x) = x3—3x2+ 3ax—3a + 3，求曲线y= f (x) 在点(1 ，f(1)) 处的切线方程.［解］由已知得f '(x) = 3x2—6x + 3a，故f ‘(1) = 3 —6+ 3a= 3a—3,且f (1) —1 —3+ 3a—3a + 3= 1.故所求切线方程为y—1 —(3 a—3)( x —1)，即3(a—1)x—y+ 4—3a—0.一、已知斜率，求切线方程.此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程.2例：求与直线x+4y+1—0 垂直的曲线f(x)—2x2—1 的切线方程.解：所求切线与直线x+4y+1—0 垂直，所以所求切线的斜率k—4.设切点坐标为(X o, y o)，则f '(X o) = 4X o= 4,即X o= 1.所以切点坐标为(1,1)-故所求切线方程为y—1 = 4(x- 1)，即4x —y —3 = 0.二、已知过曲线上一点，求切线方程.过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程.例：求过曲线f (x) = X3—2x上的点(1，—1)的切线方程.解：设切点坐标为(X。

，y o)，因为f'(x) = 3x2—2，所以f '(X o) = 3x0 —2，且y°= f (X o) = x O —2x o.所以切线方程为y—y°= (3Xo—2)( x—Xo)，3 2即y—(X o—2X o) = (3X o —2)( x—X o).因为切线过点(1，—1)，故一1 —(x o—2x o) = (3x2—2) • (1 —X o)即2x o—3x o+ 1 = 0，1解得X o= 1 或X o= —^，故所求切线方程为x—y—2= o或5x + 4y—1 = 0.三、已知过曲线外一点，求切线方程.这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切解析：(cos x)sin x ，所以①错误;sin -3 =_23, 而 点，从而求出切线方程.例：已知函数f(x) = X 3— 3x ,过点A(0,16)作曲线y = f(x)的切线，求切 线方程.解：由题意知点A(0,16)不在曲线f (x) = x 3— 3x 上，设切点坐标为Mx o ,y o ) • 则 f ，(Xo) = 3x 2— 3,2故切线方程为 y — y °=3(x o —1)( x —x o ). 又点A(0,16)在切线上,32所以 16— (x o — 3x o ) = 3(X o — 1)(0 — X o ),故切线方程为9x — y + 16= o.课后练习1.给出下列结论:其中正确的个数是(A. o B . 1化简得x o = — 8,解得X o = — 2, 即切点为M( — 2,— 2),①(cos x) '= sin x ；— n ② sinn =cos"3; 1④—x ‘1 2x ；23.若 f(x) _ (2x + a)，且 f '⑵ _ 20,则 a _解析：f (x) _4x 2+4ax + a 2, t f '(x) _8x + 4a ,二f '⑵ _ 16 + 4a _20,•••a _ 1.答案：14.已知曲线y _x 4+ ax 2+ 1在点(一1, a + 2)处切线的斜率为8,则a _解析：y '_ 4x 3+ 2ax ，因为曲线在点（一1, a + 2）处切线的斜率为8,所 以 y '|_—1_ — 4 — 2a _8，解得 a _ — 6.答案：—6 5.求下列函数的导数:0— x 2—2x= — 2x —3,所以③错误;x 211 2 2x i二2x1 2x,'x，所以④正确.答案：B2 .函数y = sin x • cos x 的导数是(2i ・ 2=cos x + sin x B. 2 ・=cos x — 解析: =2cos x • sin xD.=cos x • siny '_ (sin x • cos x) '_ cos x • cos x + sin x -(—sin x) _ 2cos x .2sinx.J — t7U|x tz+ （X-|,-x t7+ t7U|x t7）8 = x 8（X-x t7）+（L + x 9）（L —厂叽讨=/（L+x e ）（x — x t 7） +（L+x/（x —乂讨二 ,:二液J — t7U|x t7+（X-|/-x tz+ pUl x P ）Q = i-QX-Q- tzlV + x 些 + 八胛 =/ X — [ /（X 9）X + X 。