解得 从而得到
A= −4.48072, b = −1.0567
a = e = 11.3253×10
A
−3 −1.0567t
−3
y = 11.3253×10 e
= F (t)
(2)
请回答: 请回答: 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？ 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？ 只要分别计算这两个数学模型的误差， 答 ： 只要分别计算这两个数学模型的误差 ， 从中挑选误差较小的模型即可。 从中挑选误差较小的模型即可。
δ = ∑δi2 = ∑[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0 i=0
m
m
[ = min ∑ S( xi ) − yi ]2
S( x)∈ ϕ i=0
m
3. 广义定义 通常把最小二乘法 δ 都考虑为加权平方和
2 2
即
δ = ∑ω(xi )[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0
m
ω( x) ≥ 0
i i
(2)使残差的绝对值之和为最小 使残差的绝对值之和为最小
∑e
i
i
= min
(3)使残差的平方和为最小 使残差的平方和为最小
∑e
i
2 i
= min
最小二乘法
2. 一般定义 已知： 一组数据（ 已知： 一组数据（xi，yi）(i=0,1,…,m)， ， 求： 在函数类 ϕ = span{ϕ0 ,ϕ1,...,ϕn }中找一 ∗ 使误差平方和最小， 个函数 y = S (x) ，使误差平方和最小， 即
y = 1.2408
(i = 1,...,16) 。 xi , yi ) 可由原始 (
计算出来。 数据 (ti , yi ) 计算出来。
里 这 ϕ0( x) = 1,ϕ1( x) = x
可求得 (ϕk ,ϕ j ),( y,ϕ j ), j, k = 0,1 代入法方程得
16a + 3.38073b = 1.8372×103 3 3.38073a +1.58435b = 0.52886×10
b ln y = lna + t
ˆ 于是由 (ti , yi ) 计算出 ( xi , yi ) ，拟合数 据 ( xi , yi ) 的曲线仍设为 ˆ
S1( x) = A+ bx
得法方程
16A+ 3.38073b = −75.26394 3.38073A+1.58435b = −16.82229
t 增 数 (1) y是 的 函 ; t ， (2)当 →0 + 时 y = 0; (3)t →∞时 y趋 一 定 ， 于 个 值
根据这些条件，可设想两种形式的函数关系： 根据这些条件，可设想两种形式的函数关系： y = F(t) 是双曲线型
1 b t y = a + ,即 = y t (at + b)
第二章 材料科学研究中的数学模型及分析方法
常用的数学建模方法（数据分析法、理论 分析法、模拟方法、类比方法） 一、数据分析法：重点：最小二乘法、正 交实验 二、理论分析法 三、模拟方法 四、类比方法
一、曲线拟合的最小二乘法
（一）、最小二乘法的定义 ）、最小二乘法的定义 （二）、求解方法 ）、求解方法 （三）、求解步骤 ）、求解步骤 （四）、举例 ）、举例
t Y t y 1
4.00
2
6.40
3
8.00
4
8.80
5
9.22
6
9.50
7
9.70
8
9.86
9
10.0 0
10
10.2 0
11
10.3 2
12
10.4 2
13
10.5 0
14
10.5 5
15
10.5 8
16
10.6 0
解
根据所给数据，在坐标纸上标出， 根据所给数据，在坐标纸上标出，得下图 y
t 从图中可以看出开始时浓度增加较快， 从图中可以看出开始时浓度增加较快 ， 后来 逐渐减弱， 逐渐减弱 ， 到一定时间就基本稳定在一个数 值上，即当t→∞时，y趋于某个常数，故有一 趋于某个常数， 值上，即当 时 趋于某个常数 水平渐近线。 反应未开始， 水平渐近线。另外 t = 0 时，反应未开始，浓 度为0。 度为 。概括起来为
解得 从而得到
a = 80.6621, b = 161.6822
t (1) y= = F (t) 80.6621t +161.6822
y = F(t) 是指数形式
y = ae
b/ t
(b < 0)
为了确定a 为了确定 与b，对上式两边取对数得 ，
令
1 ˆ y = ln y, A = lna, x = t
解得
a0 = 2.77, a1 = 1.13
于是所求拟合曲线为
∗ S1 ( x) = 2.77 +1.13x
在某化学反应里， 例2. 在某化学反应里，根据实验所得生成物的 浓度与时间关系如下表， 求浓度y与时间 与时间t的拟 浓度与时间关系如下表 ， 求浓度 与时间 的拟 合曲线y=F(t). 合曲线
(二)、求解方法 二、
求S*(x)
求如下多元函数的最小值
I(a0, a1,..., an ) = ∑ (xi )[∑ajϕj (xi ) − f (xi )]2 ω
i=0 j=0
m
n
由多元函数 求极值的必 要条件
∂I = 0, (k = 0,1 ⋯ n) , , ∂ak
即
m n ∂I = 2∑ω(xi )[∑ajϕj (xi ) − f (xi )]ϕk (xi ) ∂ak i=0 j=0
（一)、最小二乘法的定义 、
1. “曲线拟合”问题 曲线拟合” 曲线拟合 已知： 一组实验数据（ 已知 ： 一组实验数据 （ xi ， yi ） (i=0,1,…,m)， ， 且观测数据有误差。 且观测数据有误差。 求：自变量x与因变量y之间的函数关系 y=F(x) ，不要求y=F(x)经过所有点，而只要 经过所有点， 不要求 经过所有点 求在给定点上误差
注：权函数在实际问题中有重要作用！ 权函数在实际问题中有重要作用！
要理解加权是什么意思，首先需要理解什么叫“权”， “权”的古代含义为秤砣，就是秤上可以滑动以观察 质量的那个铁疙瘩。《孟子·梁惠王上》曰:“权，然后 知轻重。”就是这意思。
例子：学校算期末成绩，期中考试占30%，期末考 试占50%，作业占20%，假如某人期中开始得了84， 期末92，作业分91，如果是算数平均，那么就是 (84+92+91)/3=89； 加权后的，那么加权处理后就是 84*30%+92*50%+91*20%=89.4，这是在已知权重的 情况下；
那么未知权重的情况下呢？想知道两个班的化学 加权平均值，一班50人，平均80，二班60人，平 均82，算数平均是(80+82)/2=81，加权后是 (50*80+60*82)/(50+60)=81.09 还有一种情况类似第一种也是人为规定，比如说 你觉得专家的分量比较大，老师其次，学生最低， 就某观点，满分10分的情况下，专家打8分，老 师打6分，学生打7分，但你认为专家权重和老师 及学生权重应为0.5:0.3:0.2，那么加权后就是 8*0.5+6*0.3+7*0.2=7.2，而算数平均的话就是 (8+6+7)/3=7。
解
根据所给数据， 在坐标纸上标出， 根据所给数据 ， 在坐标纸上标出 ， 从图 中看到各点在一条直线附近， 中看到各点在一条直线附近 ， 故可选择 线性函数作拟合曲线，即令 线性函数作拟合曲线，
S1( x) = a0 + a1 x
得法方程为
8a0 + 22a1 = 47 22a0 + 74a1 = 145.5
2 2
达到最小
则（x,y）应满足 ）
∂Q( x, y) =0 ∂x ∂Q( x, y) =0 ∂y
即 6x − y = 17
− 3x + 46y = 48
解得
x = 3.0403 y = 1.2408
所以用最小二乘法解得的超定线性方程组 的解为 x = 3.0403
例3. 用最小二乘法解超定方程组
解
2x + 4y = 11 3x − 5y = 3 x + 2y = 6 2x + y = 7
欲求（ ） 欲求（x,y）使得其尽可能使四个等式成 立，即使
Q( x, y) = (2x + 4y −11)2 + (3x − 5y − 3)2 + ( x + 2y − 6) + (2x + y − 7)
本例经过计算可得
m | δi(1) |= 0.568×10−3 ,m | δi(2) |= 0.277×10−3 ax ax
i i
而均方误差为
∑(δ
i=1
m
(1) 2 i )
= 1.19×10 ,
−3
∑(δ
i=1
m
Байду номын сангаас
(2) 2 i )
= 0.34×10
−3
由此可知第二个模型较好。 由此可知第二个模型较好。
推导： 推导：线性方程 Y = a + bx
(三)、求解步骤 三、
确定拟合曲线的形式
最困难！ 最困难！
确定变量对应的数据
确定法方程
求解法方程
(四)、举例 四、
已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线. 例1. 已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线
xi fi ωi 1 4 2 2 4.5 1 3 6 3 4 8 1 5 8.5 1