互换的定价与套利【学习目标】通过本章的学习应掌握互换定价的基本原理。

要理解为什么只要把互换分解成债券、一组远期利率协议或一组远期外汇协议，就可以利用常用的定价方法为互换定价。

还要对互换的套利有比较深入的了解。

第一节互换的定价在本节中，我们首先探讨互换与一系列金融工具的关系，通过将互换分解成一系列我们更加熟悉的金融工具，这可以加深我们对互换这种金融工具的理解并为理解互换的定价原理奠定基础。

在此基础上，我们接着讨论互换的定价。

一、利率互换的定价如果我们假设没有违约风险，利率互换可以通过分解成一个债券的多头与另一个债券的空头来定价，也可以通过分解成一个远期利率协议的组合来定价。

（一）贴现率在给互换和其它柜台交易市场上的金融工具定价的时候，现金流通常用LIBOR零息票利率贴现。

这是因为LIBOR反映了金融机构的资金成本。

这样做的隐含假设是被定价的衍生工具的现金流的风险和银行同业拆借市场的风险相同。

（二）运用债券组合给利率互换定价考虑一个2003年9月1日生效的三年期的利率互换，名义本金是1亿美元。

B 公司同意支付给A 公司年利率为5％的利息，同时A 公司同意支付给B 公司6个月期LIBOR 的利息，利息每半年支付一次。

图16.1 A 公司与B 公司的利率互换表16－1 利率互换中B 公司的现金流量表（百万美元）日期 LIBOR(5%) 收到的浮动利息支付的固定利息 净现金流 2003.9.14.20 2004.3.14.80 +2.10 －2.50 －0.40 2004.9.15.30 +2.40 －2.50 －0.10 2005.3.15.50 +2.65 ―2.50 ＋0.15 2005.9.15.60 +2.75 －2.50 ＋0.25 2006.3.15.90 +2.80 －2.50 ＋0.30 2006.9.16.40 +2.95 －2.50 ＋0.45上述利率互换可以看成是两个债券头寸的组合。

虽然利率互换不5% LIBOR涉及本金交换，我们可以假设在合约的到期日，A 支付给B1亿美元的名义本金，同时B 也支付给A1亿美元的名义本金。

这不会改变互换双方的现金流，所以不会改变互换的价值。

这样，利率互换可以分解成：1.B 公司按6个月LIBOR 的利率借给A 公司1亿美元。

2.A 公司按5%的年利率借给B 公司1亿美元。

换个角度看，就是B 公司向A 公司购买了一份1亿美元的浮动利率（LIBOR ）债券，同时向A 公司出售了一份1亿美元的固定利率（5％的年利率，每半年付息一次）债券。

因此，对B 公司而言，这个利率互换的价值就是浮动利率债券与固定利率债券价值的差。

定义fix B :互换合约中分解出的固定利率债券的价值。

fl B :互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。

那么，对B 公司而言，这个互换的价值就是fl fix V B B -互换＝ （16.1）为了说明公式（16.1）的运用，定义i t ：距第i 次现金流交换的时间（1i n ≤≤）。

L ：利率互换合约中的名义本金额。

i r ：到期日为i t 的LIBOR 零息票利率。

k ：支付日支付的固定利息额。

那么，固定利率债券的价值为1i i n n nr t r t fix i B ke Le --==+∑接着考虑浮动利率债券的价值。

根据浮动利率债券的性质，在紧接浮动利率债券支付利息的那一刻，浮动利率债券的价值为其本金L 。

假设下一利息支付日应支付的浮动利息额为*k （这是已知的），那么在下一次利息支付前的一刻，浮动利率债券的价值为*fl B L k =+。

在我们的定义中，距下一次利息支付日还有1t 的时间，那么今天浮动利率债券的价值应该为：11*()r t fl B L k e -=+公式（16.1）给出了利率互换对一个支付固定利率、收入浮动利率的公司的价值，当一个公司收入固定利率，支付固定利率的时候，互换对该公司的价值为fl fix V B B -互换＝ （16.2）例16.1假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR ，同时收取8％的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。

互换还有1.25年的期限。

3个月、9个月和15个月的LIBOR （连续复利率）分别为10％、10.5％和11％。

上一次利息支付日的6个月LIBOR 为10.2％（半年计一次复利）。

在这个例子中$400k =万，*$510k =万，因此0.10.250.1050.750.111.2544104$0.9824fix B e e e -⨯-⨯-⨯=++=亿()0.10.25100 5.1$1.0251fl B e -⨯=+=亿因此，利率互换的价值为98.4－102.5＝－$427万如果银行持有相反的头寸——收入浮动利率、支付固定利率，那么互换对银行的价值就是＋427万美元。

利率互换中固定利率一般选择使互换初始价值为0的那个利率，在利率互换的有效期内，它的价值有可能是负的，也有可能是正的。

这和远期合约十分相似，因此利率互换也可以看成远期合约的组合。

（二）运用远期利率协议给利率互换定价远期利率协议（FRA）是这样一笔合约，合约里事先确定将来某一时间一笔借款的利率。

不过在FRA执行的时候，支付的只是市场利率与合约协定利率的利差。

如果市场利率高于协定利率，贷款人支付给借款人利差，反之由借款人支付给贷款人利差。

所以实际上FRA 可以看成一个将用事先确定的利率交换市场利率的合约。

很明显，利率互换可以看成是一系列用固定利率交换浮动利率的FRA的组合。

只要我们知道组成利率互换的每笔FRA的价值，就计算出利率互换的价值。

考虑表16.1中的B公司，在这个利率互换中，B公司和A公司交换了6次现金流。

第一次现金流交换在互换签订的时候就知道了，其它5次利息的交换可以看成是一系列的FRA。

2004年9月1日的利息交换可以看成是用5％的利率交换在2004年3月1日的6个月的市场利率的FRA，2005年3月1日的利息交换可以看成是用5％的利率交换在2004年9月1日的6个月的市场利率的FRA，依此类推。

只要知道利率的期限结构，我们就可以计算出FRA 对应的远期利率和FRA 的价值，因此运用FRA 给利率互换定价的步骤如下：1.计算远期利率。

2.确定现金流。

3.将现金流贴现。

例16.2我们再看例16.1中的情形。

3个月后要交换的现金流是已知的，金融机构是用10.2％的年利率换入8％年利率。

所以这笔交换对金融机构的价值是()0.10.250.51000.080.102107e -⨯⨯⨯-=-万美元为了计算9个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先计算从现在开始3个月到9个月的远期利率。

根据远期利率的计算公式1，3个月到9个月的远期利率为0.1050.750.100.250.10750.5⨯-⨯= 10.75％的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为()0.1075/221e ⨯-=0.11044所以，9个月后那笔现金流交换的价值为()0.1050.750.51000.080.11044141e -⨯⨯⨯-=-万美元同样，为了计算15个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先计算从现在开始9个月到15个月的远期利率。

1从T 到*T 的远期利率的计算公式为()()T T t T r t T r r ----=∧***。

0.11 1.250.1050.750.11750.5⨯-⨯= 11.75％的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为2()0.1175/221e ⨯-=0.12102所以，15个月后那笔现金流交换的价值为()0.111.250.51000.080.12102179e -⨯⨯⨯-=-万美元那么，作为远期利率协议的组合，这笔利率互换的价值为107141179427---=-万美元这个结果与运用债券组合定出的利率互换价值一致。

二、 货币互换的定价（一）运用债券组合给货币互换定价在没有违约风险的条件下，货币互换一样也可以分解成债券的组合，不过不是浮动利率债券和固定利率债券的组合，而是一份外币债券和一份本币债券的组合。

假设A 公司和B 公司在2003年10月1日签订了一份5年期的货币互换协议。

如图16.2所示，合约规定A 公司每年向B 公司支付11％的英镑利息并向B 公司收取8％的美元利息。

本金分别是1500万美元和1000万英镑。

A 公司的现金流如表16.2所示。

A 公司持有的互换头寸可以看成是一份年利率为8％的美元债券多头头寸和一份年利率为11％的英镑债券空头头寸的组合。

2假设c R 是连续复利的利率，m R 是与之等价的每年计m 次复利的利率，那么()m Rc m m R +=1ln ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m R m c e m R 。

图16.2 A 公司和B 公司的货币互换流程图表16－2 货币互换中A 公司的现金流量表（百万）日期美元现金流 英镑现金流 2003.10.1－15.00 ＋10.00 2004.10.1+1.20 －1.10 2005.10.1+1.20 －1.10 2006.10.1+1.20 ―1.10 2007.10.1+1.20 －1.10 2008.10.1+16.20 －11.10如果我们定义V 互换为货币互换的价值，那么对收入本币、付出外币的那一方：0D F V B S B =-互换 其中F B 是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的价值；D B 是从互换中分解出来的本币债券的价值；0S 是即期汇率（直接标8%的美元利息 11%的英镑利息价法）。

对付出本币、收入外币的那一方：0F D V S B B =-互换例16.3假设在美国和日本LIBOR 利率的期限结构是平的，在日本是4％而在美国是9％（都是连续复利），某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为5％，同时付出美元，利率为8％。

两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日元。

这笔互换还有3年的期限，即期汇率为1美元＝110日元。

如果以美元为本币，那么0.0910.0920.0930.80.810.8964.4D B e e e -⨯-⨯-⨯=++=万美元0.0410.0420.04360601260123055F B e e e -⨯-⨯-⨯=++=，万日元货币互换的价值为123055964.4110-=154.3万美元 如果该金融机构是支付日元收入美元，则货币互换对它的价值为－154.3百万美元。

（二）运用远期组合给货币互换定价货币互换还可以分解成一系列远期合约的组合，货币互换中的每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。

因此只要能够计算货币互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价值，就可以知道对应的货币互换的价值。

例16.4我们看例16.3，即期汇率为1美元＝110日元，或者是1日元＝0.009091美元。