构造函数法证明不等式的八种方法
利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

1、从条件特征入手构造函数证明
【例1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ， 求证：．a )(a f >b )(b f
【变式1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式)(x f >)(x f '，且1)(-=x f y 为奇函数. 求不等式)(x f <x
e 的解集.
【变式2】若函数y =)(x f 是定义在()0,∞-上的可导函数且满足不等式)()(2x f x x f '+>2
x .
求不等式0)2(4)2015()2015(2
>--++f x f x 的解集.
2、移项法构造函数
【例2】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-
)1ln(1
1
1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数11
1
)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。

3、作差法构造函数证明 【例3】已知函数.ln 21)(2x x x f +=
求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33
2
)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题，设)()()(x f x g x F -=
4、换元法构造函数证明
【例4】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n ，不等式321
1)11ln(n
n n ->+ 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令
x n
=1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(2
3
++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

5、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 【例5】证明当2
111)1(,0x x
e
x x +
+
<+>时
6、构造形似函数
【例6】证明当a b b a e a b >>>证明,
7、构造二阶导数函数证明导数的单调性 【例7】已知函数21()2
x
f x ae x =-
(1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围;(2)若a=1,求证:x ＞0时,f(x)>1+x
8、主元法构造函数
【例8】（全国）已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=-+=
(1) 求函数)(x f 的最大值； (2)设b a <<0,证明 ：2ln )()2
(2)()(0a b b
a g
b g a g -<+-+<.
【思维挑战】
1、（2007年，陕西）)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x -'≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有（ ）
（A ）af (b )≤bf (a )（B ）bf (a )≤af (b )（C ）af (a )≤f (b ) （D ）bf (b )≤f (a )
2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数,ln 3)(,22
1)(2
2b x a x g ax x x f +=+=其中a >0，且a a a b ln 32522-=，求证：)()(x g x f ≥
3、已知函数x x x x f +-+=1)1ln()(，求证：对任意的正数a 、b , 恒有.1ln ln a
b
b a -≥-。